비유가 아니다: 금융과 양자역학을 관통하는 하나의 수식

** 물리학은 모르지만, one-dimensional Fibonacci quasicrystal 내 전자의 움직임과 시장과의 구조적 동형성을 보여주는 특징이 있어서 신기한 마음에 공유해봅니다.

논문 링크: https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/14786435.2015.1023859

우리가 시장을 분석하며 자주 범하는 실수는 "시장은 살아있는 생물 같다"는 식의 추상적인 비유에 그치는 것이다. 하지만 퀀트의 세계에서 시장과 물리학의 연결고리는 감성적인 비유가 아니라, 완벽하게 일치하는 수학적 방정식으로 증명된다.

물리학계에서 밝혀진 '1차원 피보나치 준결정 내 전자의 로그 주기적 진동'과 금융 시장의 붕괴를 예측하는 'LPPL(Log-Periodic Power Law) 모델'은 놀랍게도 하나의 본질을 공유한다. 단순한 주장이 아닌, 수학적으로 입증된 두 시스템의 구조적 동형성(Isomorphism)을 파헤쳐보자.

1. 수학적 필연성: 복소수 임계 지수 (Complex Critical Exponents)

이 두 현상이 연결되는 가장 확실한 증거는 재규격화군(Renormalization Group, RG) 이론에 있다.

• 물리학의 증명: 피보나치 준결정 연구에서 전자의 생존 확률은 재규격화군 방정식의 해로 도출된다. 이때 시스템이 연속적이지 않고 피보나치 수열처럼 '불연속적인' 스케일을 가질 때, 그 해는 필연적으로 복소수 차원(Complex Dimensions)을 갖게 된다.

• 금융의 증명: 소르넷(Didier Sornette) 교수의 LPPL 모델 역시 금융 버블을 다룰 때 시간에 대한 재규격화군 방정식을 푼다. 여기서도 트레이더들의 시간 지평이 연속적이지 않고 계층적일 때, 임계 지수는 실수가 아닌 복소수(Imaginary number)가 된다.

수학적으로 임계 지수가 복소수로 나올 때, 그 실수부(Real part)는 '거듭제곱 ...