포트폴리오의 선형대수학적 원리

"포트폴리오 분산해야한다".

But, Why? 포트폴리오가 필요한 이유를 정확하게 설명하기 어려웠습니다. 그래서 한번 날 잡고 깊게 파보았습니다. 그리고 생각보다 수학적으로 우아한 해석을 알게 되었습니다.

포트폴리오 이론에 대해 제가 발견한 가장 아름다운 비유는 wifi 공유기입니다.

wifi 공유기는 라디오처럼 사방으로 신호를 쏘지 않습니다. Beamforming, 빔 조향 기술을 통해 필요한 부분에만 신호를 집중합니다. 여러 개의 작은 송수신기(혹은 송신기) 클러스터에서 위상이 다른 파동을 잘 섞어서 내보내면 절묘하게 간섭되어 특정 영역에 신호를 집중할 수 있습니다. 아무런 기계적 움직임 없이도 조향 각도 또한 조정할 수 있습니다. AESA 레이더도 이런 식으로 작동하고 우리가 아는 레이더와 달리 빙글빙글 돌지 않아도 됩니다.

그리고 포트폴리오 이론의 설명에 꼭 필요하지는 않지만 향후 등장할 수식과 관련있는 부분입니다. 공학이나 광학에 조예가 있으신 분들을 위해 설명하자면 이는 투과도가 복소수값(위상과 세기를 나타냄)인 슬릿으로 이해할 수도 있습니다. 따라서 beamforming은 일종의 가변 렌즈 기술이라 할 수 있습니다.

그리고 이 beamforming이 잘 되게 하려면 배경 노이즈 + beamforming 오차 값에 비해 Signal Strength가 커지도록 하면 됩니다.

Signal은 아래와 같이 측정합니다.

시그마는 수신된 신호의 세기의 표준편차로 전반적으로 수신된 파동의 Amplitude와 관련있다 생각할 수 있습니다. (전기장의 제곱값 그런 것은 아닙니다.) w는 각 송신 모듈에서 보낸 신호의 세기와 위상 정보를 나타내는 nx1 벡터입니다. H는 conjugate transpose 이고 a는 조향 각도를 나타냅니다.

자세한 수학적 용어를 몰라도 [세기*모듈 별 가중치] 정도라 이해하면 됩니다.

에러 + 노이즈는 아래와 같은데 R은 수신 모듈 간의 공분산(대충 고차원 버전의 분산 모음)이고 w는 가중치입니다.

노이즈는 그냥 랜덤 white noise입니다. 다만 여기서 말하는 에러란 벽 등 사물에서의 예상치 못한 반사 신호, 기타 잡신호 등에 의해 이론적인 beamforming이 방해되는 정도를 말합니다. 정교하게 위상차와 세기 차이를 계산해서 조향을 하려는데 다른 잡신호가 섞이면 아무래도 ...