[파생상품 이론] The Black-Scholes-Merton Model

JohnC.Hull, (2022, chapter 14), Option, Futures, and other derivatives(11th global ed.) 내용 요약·정리 주요 개념 Markov Process 미래를 예측하는데 있어 현재의 가치만이 중요한 확률 가정을 의미. 즉, 과거의 기록은 예측에 무의미라는 뜻. 주가를 예로 들면, 미래 주가를 예측하는 데 있어 과거의 주가는 중요하지 않다. 𝑃 ( 𝑋 𝑛 + 1 = 𝑥 ∣ 𝑋 𝑛 , 𝑋 𝑛 − 1 , . . . , 𝑋 1 ) = 𝑃 ( 𝑋 𝑛 + 1 = 𝑥 ∣ 𝑋 𝑛 ) P(X n+1 ​ =x∣X n ​ ,X n−1 ​ ,...,X 1 ​ )=P(X n+1 ​ =x∣X n ​ ) 주식이 Markov property를 가진 process를 따른다면, 해당 시장에서는 약형 시장 효율가설(Weak Efficient-Market Hypothesis)이 성립하는 시장이다. 즉, 과거의 정보들(과거 주가 추이, 차트 등)로 미래의 초과 수익을 보장할 수 없다. Markov variation(다른 표현 또는 특성) Time-homogeneous Process : conditional probability이 시간에 종속되지 않고 모두 동일 𝑃 ( 𝑋 𝑛 + 1 ∣ 𝑋 𝑛 ) = 𝑃 ( 𝑋 𝑛 ∣ 𝑋 𝑛 − 1 )   𝑓 𝑜 𝑟   ∀ 𝑛 P(X n+1 ​ ∣X n ​ )=P(X n ​ ∣X n−1 ​ ) for ∀n cf. Semi-stong & Strong EMH Semi-strong EMH : 공개적 정보는 이미 주가에 반영, Fundamental Analysis는 초과수익을 얻을 수 없음 Strong EMH : 사적 정보까지 이미 주가에 반영되어 있음 Wiener Process 평균이 0이고 분산이 연간 1인 markov stochastic process로 아래의 특성을 지니며, 물리학에서는 Brownian Motion으로도 알려져 있음. Δ 𝑧 = 𝜖 Δ 𝑡 ,   𝜖 ∼ 𝜙 ( 0 , 1 ) Δz=ϵ Δt ​ , ϵ∼ϕ(0,1), 변동성(표준편차)가 시간 제곱근에 비례 공통기간이 없는 두 process는 서로 independent (Markov 특성) 이에 따라 시간에 따라 자유롭게 합치거나 나눌 수 있으며, 평균과 분산도 additive가 성립 1년간 주가 움직임의 확률분포가 N(0,1)일 때, 2년간 주가움직임의 확률분포는 두 결합분포의 합. 반면, 6개월간 주가 움직임의 확률분포는 두 개의 6개월 간 확률분포 합이 N(0, 1)이어야 하므로, N(0, 0.5)이다. 위너 프로세스 정의에 따라 Time T간의 변화는 N(0, T)의 정규분포를 따르게 되며, 𝑍 ( 𝑇 ) − 𝑍 ( 0 ) ∼ 𝜙 ( 0 , 𝑇 ) Z(T)−Z(0)∼ϕ(0,T) t>s인 두 위너 프로세스 간에는 s가 t에 종속되므로 addictive property + covariance가 s를 따르게 된다는 점을 고려시 아래와 같은 특징을 가지게 된다. 𝑍 ( 𝑡 ) − 𝑍 ( 𝑆 ) = 𝑍 ( 𝑡 − 𝑠 ) Var ( 𝑍 ( 𝑡 ) − 𝑍 ( 𝑠 ) ) ...

JohnC.Hull, (2022, chapter 13), Option, Futures, and other derivatives(11th global ed.) 내용 요약·정리 대전제 No arbitrage opportunities 주식과 옵션을 활용하여 riskless 복제 포트폴리오 구축 Riskless 포트폴리오의 수익률은 RIsk-free rate 옵션 가격은 포트폴리오 구축 비용 Binomial Tree Option Pricing & Riskless portfolio 현재 가격 𝑆 0 S 0 ​ , 옵션 가격 f, 상승시 주식가격 𝑆 0 𝑢 S 0 ​ u, 하락시 주식가격 𝑆 0 𝑑 S 0 ​ d, 파생상품 만기 T Riskless 포트폴리오 : Δ ΔLong shares 주식, Short 1 콜옵션 (상승시 payoff) 𝑆 0 𝑢 Δ − 𝑓 𝑢 S 0 ​ uΔ−f u ​ (하락시 payoff) 𝑆 0 𝑑 Δ − 𝑓 𝑑 S 0 ​ dΔ−f d ​ Riskless 포트폴리오이기 위해서는 미래 시점의 payoff가 동일 미래 시점의 payoff가 동일하기 위해서는 Delta가 아래 식을 만족해야함 Delta는 옵션 Greeks에서의 정의와 같이 "옵션 가격변화 / 주식 가격변화"로 이해 가능 Δ = 𝑓 𝑢 − 𝑓 𝑑 𝑆 0 𝑢 − 𝑆 0 𝑑 Δ= S 0 ​ u−S 0 ​ d f u ​ −f d ​ ​ RIskless 포트폴리오의 수익률 = Risk-free rate이므로 현재 포트폴리오 가치 = PV (미래 가치) 𝑆 0 Δ − 𝑓 = ( 𝑆 0 𝑢 Δ − 𝑓 𝑢 ) 𝑒 − 𝑟 𝑇 𝑂 𝑝 𝑡 𝑖 𝑜 𝑛   𝑝 𝑟 𝑖 𝑐 𝑒 = 𝑓 = 𝑆 0 Δ − ( 𝑆 0 𝑢 Δ − 𝑓 𝑢 ) 𝑒 − 𝑟 𝑇 S 0 ​ Δ−f=(S 0 ​ uΔ−f u ​ )e −rT Option price=f=S 0 ​ Δ−(S 0 ​ uΔ−f u ​ )e −rT 2번과 3번을 결합하여, 식을 정리하면 𝑓 = [ 𝑝 𝑓 𝑢 + ( 1 − 𝑝 ) 𝑓 𝑑 ] 𝑒 − 𝑟 𝑇 𝑤 ℎ 𝑒 𝑟 𝑒    𝑝 = 𝑒 𝑟 𝑇 − 𝑑 𝑢 − 𝑑   :   𝑅 𝑖 𝑠 𝑘 − 𝑛 𝑒 𝑢 𝑡 𝑟 𝑎 𝑙   𝑝 𝑟 𝑜 𝑏 𝑎 𝑏 𝑖 𝑙 𝑖 𝑡 𝑦 f=[pf u ​ +(1−p)f d ​ ]e −rT where  p= u−d e rT −d ​  : Risk−neutral probability 요약하면, 옵션 가격은 risk-neutral probabilry를 활용한 평균 미래 가격의 현재가치. 또한 해당 식에서 얻을 수 있는 insight는 옵션 가격은 기초자산인 주식 ...

JohnC.Hull, (2022, chapter 11), Option, Futures, and other derivatives(11th global ed.) 내용 요약·정리  옵션 가격의 결정요인 옵션가격을 결정하는 요인에는 현재 기초자산 가격( 𝑆 0 S 0 ​ ), 행사가격(K), 잔존만기(T), 가격 변동성(σ), 이자율(r), 옵션 기간중 배당금의 현재가치(D) 총 6가지가 존재 기초자산 가격( 𝑆 0 S 0 ​ 가격이 올라갈수록 call option의 내재가치인 payoff( 𝑆 𝑇 − 𝐾 S T ​ −K)가 커지며 value 상승 Put option은 내재가치인 payoff( 𝐾 − 𝑆 𝑇 K−S T ​ )가 작아지면서 value 하락 행사가격(K) 행사가격이 올라갈수록 call option의 내재가치가 작아지면서 value 하락 Put option은 반대로 value 상승 잔존만기(T) (American option) 언제든 행사가 가능하므로 잔존만기가 길어질수록 value 상승 (European option) 통상 잔존만기가 길어질수록 value 상승하지만, 항상 성립하는 것은 아님 예외 case: 특정 시점에 배당을 지급할 것으로 기대되는 기초자산이 있을 경우, 배당 지급에 따라 기초자산 가격이 하락하며 이 경우 옵션 가치도 하락. 따라서 특정 시점 이전의 짧은 만기의 가치가 더욱 큼 가격 변동성(σ) 기초자산 가격의 변동성이 커질수록 in the money가 될 가능성이 높아지므로 value 상승 이자율(r) 모든 조건이 동일할 때, 이자율이 높아질수록 기초자산에 대한 요구수익률이 높아지고, 미래의 현금가치는 작아지게 된다. 종합적으로 미래의 payoff는 기초자산의 가격이 상승하는 효과(received +)와 미래 지불하는 가격이 작아지는 효과(pay -)로 call value 상승 Put option은 기초자산의 가격이 하락하는 효과와 미래 받게 되는 현금의 현재가치가 작아지는 효과로 value 하락 다만, 이자율은 다른 변수와 연관성이 높아 그 방향성이 혼재될 수 있음 예를 들어, 이자율이 올라갈수록 주가는 하락하는 경향이 있으므로 이를 통합할 경우 call value가 하락할 수 있음 옵션 기간중 배당금의 현재가치(D) 배당지급은 주가를 낮추는 요인으로 작용하므로 call value는 하락, put value는 상승 옵션 가격 범위와 차익거래 기회 주요 가정 거래비용 없음 모든 거래 순이익은 동일한 세율을 적용 무위험 이자율로 차입과 대출이 가능 시장참가자들은 차익거래에 적극 참여 위의 주요 가정은 모든 시장참가자일 필요는 없다. 일부 참가자에게만 성립하더라도 큰 규모의 거래를 통해 차익거래 기회를 해소할 수 있기 때문에 옵션의 공정가격 형성을 보장할 수 있다. upper and lower bound for options prices 옵션가격에는 상품 구조상 상한과 하한이 존재하게 된다. 만약 옵션 가격이 상한과 하한을 넘어갈 경우에는 차익거래 기회가 발생하면서 일부 참가자의 차익거래에 의해 해당 범위 안으로 다시 복귀하게 된다. [Call option] European 콜옵션 가격은 아래와 같은 상하한을 갖는다. 직관적으로 생각했을때, 옵션 가치는 보험적 성격으로 기초자산의 불확실성을 해소할 수 있는 장점이 있기 때문에 권리를 행사했을때의 가치(만기시점 payoff)보다 크거나 같아야 하며, 상품 구조상 기초자산의 현재 가격보다 클 수는 없다. 𝑀 𝑎 𝑥 ( 𝑆 0 − 𝐾 𝑒 − 𝑟 𝑇 , 0 ) ≤   𝑐   ≤ 𝑆 0 Max(S 0 ​ −Ke −rT ,0)≤ c ≤S 0 ​ 상한 콜옵션은 기초자산을 매수할 수 있는 권리를 부여하므로 상품 구조상 기초자산의 현재 가격을 넘어설 수 없다. 𝑐 ≤ 𝑆 0 c≤S 0 ​ 하한 무배당 European call option에 대해 아래 부등식이 성립 𝑐 ≥ max ⁡ ( 𝑆 0 − 𝐾 𝑒 − 𝑟 𝑇 , 0 ) c≥max(S 0 ​ −Ke −rT ,0) 아래 두개의 합성 포트폴리오를 생각하여 이를 증명해보면, A : European call option(행사가격 K) + zero coupon bond(만기 T, 액면가 K) B : 기초자산 S Payoff A = 𝑀 𝑎 𝑥 ( 𝑆 𝑇 , 𝐾 ) Max(S T ​ ,K), Payoff B = 𝑆 𝑇 S T ​ 항상 A의 가치가 B보다 크다. 따라서 이를 콜옵션과 K zero bond의 현재가치 합이 현재 주식가치보다 항상 크며, 콜옵션 가격이 음수가 될 수는 없으므로 아래 식이 성립 𝑐 + 𝐾 𝑒 − 𝑟 𝑇 ≥ 𝑆 0 ,   𝑐 ≥ 0   = >   𝑐 ≥ 𝑀 𝑎 𝑥 ( 𝑆 0 − 𝐾 𝑒 − 𝑟 𝑇 , 0 ) c+Ke −rT ≥S 0 ​ , c≥0 => c≥Max(S 0 ​ −Ke −rT ,0) (차익거래 예시) c = 3, S0 = 20, T=1, r=10%, K=18, D=0 일때, 콜옵션 가격의 하한을 계산하면, S0-Ke^{-rT} = 20-18*e(-0.1*1)=3.7로 현재 콜옵션 가격이 하한을 하회한다. 따라서 현재 기초자산을 공매도(+20)하고 해당 자금으로 콜옵션을 매수(-3), 남은 자금(17)은 10%로 무위험투자(만기시점 18.79)하면 무위험 차익을 얻을 수 있다. 만약 만기시점의 기초자산 가격이 18보다 크면, 콜옵션을 행사함으로써 주식을 18에 매수. 최종 profit = 0.79 ...

JohnC.Hull, (2022, chapter 10), Option, Futures, and other derivatives(11th global ed.) 내용 요약·정리 Option이란 어떠한 행동을 할 수 있는 권리를 부여하는 것이며, 선도와 선물거래가 정해진 행동을 이행해야하는 의무와 달리 option의 권리는 반드시 행사할 필요는 없다. 한편, 선도와 선물계약을 체결하기 위해 별도로 드는 비용이 없는 반면, 옵션은 premium으로 선취적 비용(up-front payment)이 발생하게 된다. Types of options 콜옵션 : 특정 시점, 특정 가격에 자산을 살 수 있는 권리를 부여 - 만기시점 가격이 행사가격보다 높으면 권리 행사 풋옵션 : 특정 시점, 특정 가격에 자산을 팔 수 있는 권리를 부여 - 만기시점 가격이 행사가격보다 낮으면 권리 행사 European option : 만기시점에만 행사 가능 American option : 만기 이전에 언제든 행사 가능 Cf. 1) Expiration / Maturity date - 만기 시점, Exercise price / Strike price - 행사 가격 2) 대부분 아메리칸 옵션이지만, 유로피안 옵션이 가치 분석에서는 보다 유용 3) 전통적인 옵션 외에도 FLEX options(flexible options)과 같이 만기, 행사가격 등이 변형된 옵션들도 다양하게 존재   Positions & Payoff Option을 매도/발행하는 사람을 short, writer 라고 하며, option을 매수함으로써 권리를 갖게 되는 쪽을 long이라 한다. 매수와 매도 포지션은 서로 상쇄되며 서로 간의 payoff 합은 0이다. 초기 비용이 없다고 가정했을때,   Call option - Long payoff (a) 𝑀 𝑎 𝑥 ( 𝑆 𝑇 − 𝐾 , 0 ) 𝑆 𝑇 : 𝑃 𝑟 𝑖 𝑐 𝑒   𝑜 𝑓   𝑎 𝑠 𝑠 𝑒 𝑡   𝑎 𝑡   𝑚 𝑎 𝑡 𝑢 𝑟 𝑖 𝑡 𝑦 ,   𝐾 : 𝑆 𝑡 𝑟 𝑖 𝑘 𝑒   𝑝 𝑟 𝑖 𝑐 𝑒 Max(S T ​ −K,0) S T ​ :Price of asset at maturity, K:Strike price Call option - Short payoff (b) − 𝑀 𝑎 𝑥 ( 𝑆 𝑇 − 𝐾 , 0 ) = 𝑀 𝑖 𝑛 ( 𝐾 − 𝑆 𝑇 , 0 ) −Max(S T ​ −K,0)=Min(K−S T ​ ,0) Put option - Long payoff (c) 𝑀 𝑎 𝑥 ( 𝐾 − 𝑆 𝑇 , 0 ) Max(K−S T ​ ,0) Put option - Short payoff (d) − 𝑀 𝑎 𝑥 ( 𝐾 − 𝑆 𝑇 , 0 ) = 𝑀 𝑖 𝑛 ( 𝑆 𝑇 − 𝐾 , 0 ) −Max(K−S T ​ ,0)=Min(S T ​ −K,0)   Underlying assets Stock - 주식옵션은 대부분 거래소에서 거래되며, 미국에서는 CBOE, NYSE Euronext, ISE, Boston options exchange 등에서 거래. 1계약당 거래규모 100주 Foreign currency - 통화 옵션은 대부분 OTC 거래. 다만 일부 거래소 거래도 존재. 1계약당 10,000 unit(엔화는 1,000,000단위) ...

JohnC.Hull, (2022, chapter 7), Option, Futures, and other derivatives(11th global ed.) 내용 요약·정리 1. Review: FRA Key Takeaway FRA Long : borrower(고정금리 지급하므로 자금 차입 개념), FRA Short : Lender (고정금리 수취하므로 대출자 개념) FRA Long: 사전 협상된 고정금리 이자 지급, 변동금리 수취 FRA Long Payoff는 변동금리 - 고정금리 FRA의 가치는 선도금리와 계약고정금리 간의 현금흐름 차이로 이해할 수 있으며, 시간에 따라 선도금리가 변하면서 변해감 Forward Rate Agreement(FRA) : 미래의 reference rate(변동)과 사전 정의된 선도 금리(fixed rate) 간의 교환 계약으로 원금은 교환하지 않고, 이자만 교환한다. : 준거금리는 통상 LIBOR가 사용되었으나, LIBOR 금지 이후 3개월 SOFR, SONIA 등이 사용 : FRA 매수자(borrower)는 사전 협상된 고정금리로 이자를 지급하고 변동금리를 수취 : FRA Long Payoff는 변동금리 - 고정금리 : (이자 지급 시점에 준거금리 > 고정금리) Long -> 준거금리와 고정금리 차이만큼 receive, Short -> pay : (이자 지급 시점에 준거금리 < 고정금리) Long -> 준거금리와 고정금리 차이만큼 pay, Short -> receive (Hedge Strategy) 변동금리 borrower가 FRA long을 할 경우, 고정금리 지급으로 payoff가 고정 Long position(borrower) payoff - 고정금리 지급, 준거금리 수취 𝐿 ( 𝑅 𝑟 𝑒 𝑓 𝑒 𝑟 𝑒 𝑛 𝑐 𝑒 − 𝑅 𝑓 𝑖 𝑥 ) ( 𝑇 2 − 𝑇 1 )   𝑎 𝑡   𝑇 2 𝐿 ( 𝑅 𝑟 𝑒 𝑓 𝑒 𝑟 𝑒 𝑛 𝑐 𝑒 − 𝑅 𝑓 𝑖 𝑥 ) ( 𝑇 2 − 𝑇 1 ) / [ 1 + 𝑅 𝑟 𝑒 𝑓 𝑒 𝑟 𝑒 𝑛 𝑐 𝑒 ( 𝑇 2 − 𝑇 1 ) ]   𝑎 𝑡   𝑇 1 L(R reference ​ −R fix ​ )(T 2 ​ −T 1 ​ ) at T 2 ​ L(R reference ​ −R fix ​ )(T 2 ​ −T 1 ​ )/[1+R reference ​ (T 2 ​ −T 1 ​ )] at T 1 ​ Short position(Payer) payoff - 고정금리 수취, 준거금리 지급 − 𝐿 ( 𝑅 𝑟 𝑒 𝑓 𝑒 𝑟 𝑒 𝑛 𝑐 𝑒 − 𝑅 𝑓 𝑖 𝑥 ) ( 𝑇 2 − 𝑇 1 )   𝑎 𝑡   𝑇 2 − 𝐿 ( 𝑅 𝑟 𝑒 𝑓 𝑒 𝑟 𝑒 𝑛 𝑐 𝑒 − 𝑅 𝑓 𝑖 𝑥 ) ( 𝑇 2 − 𝑇 1 ) / [ 1 + 𝑅 𝑟 𝑒 𝑓 𝑒 𝑟 𝑒 𝑛 𝑐 𝑒 ( 𝑇 2 − 𝑇 1 ) ]   𝑎 𝑡   𝑇 1 −L(R reference ​ −R fix ​ )(T 2 ​ −T 1 ​ ) at T 2 ​ −L(R reference ​ −R fix ​ )(T 2 ​ −T 1 ​ )/[1+R reference ​ (T 2 ​ −T 1 ​ )] at T 1 ​ 위의 식에서 금리는 모두 T1과 T2 기간중 compounding frequency 기준으로 표현된 금리(연속 복리금리 x) Valuation 사전 협의 금리를 통상 선도금리로 할 경우 reference rate로 현 시점에서 고정되는 금리와 선도금리가 동일하므로 FRA의 가치는 0이 된다(각자의 현금흐름이 0). 하지만, 시간이 지날수록 reference rate가 변동하므로 FRA의 가치는 변하게 된다. (Cf. market maker(은행)의 bid(매수)-ask(매도) 차이로 인해 market maker는 소폭의 (+)FRA, 상대측은 소폭의 (-)FRA) FRA Valuation : 선도금리가 실현된다고 가정한다면 valuation 가능. T2 시점에서의 payoff를 현재가치로 할인 ( Long ) 𝐿 ( 𝑅 forward − 𝑅 fix ) ( 𝑇 2 − 𝑇 1 ) 𝑒 − 𝑅 2 𝑇 2 ( Short ) − 𝐿 ( 𝑅 forward − 𝑅 fix ) ( 𝑇 2 − 𝑇 1 ) 𝑒 − 𝑅 2 𝑇 2 (Long) (Short) ​ L(R forward ​ −R fix ​ )(T 2 ​ −T 1 ​ )e −R 2 ​ T 2 ​ −L(R forward ​ −R fix ​ )(T 2 ​ −T 1 ​ )e −R 2 ​ T 2 ​ ​ 2. Interest rate swaps 스왑(Swaps)은 정해진 규칙에 따라 미래 특정 시점에 현금흐름을 교환하는 것을 의미한다. 앞서 살펴본 Forward rate agreement는 한번의 현금흐름을 교환한다는 측면에서 스왑의 가장 간단한 형태라고 볼 수 있다. 이중 이자율 스왑에서 명시해야하는 정해진 규칙은 사전 정의된 고정금리(Predetermined fixed rate) 변동 준거금리(Floating reference rate) 원금(Principal). 단, 교환은 하지 않음 교환주기 이때 변동 준거금리는 과거 LIBOR가 주로 사용되었으나, LIBOR가 점차 폐지되면서 Overnight reference rate(SOFR, SONIA 등)을 기준으로 한 스왑 Overnight Indexed Swaps(OISs)이 활발하다. Cf. LIBOR와 OIS 간 차이는 Forward / Backward looking의 차이. LIBOR는 적용기간 시작에 정해지나, OIS는 실현금리이므로 종료시점에 결정 OIS는 기간에 따라 이자지급 주기가 상이하게 되는데, 1년 미만 OISs : 통상 만기시점에 단일 교환(single exchnage) 1년 초과 OISs : 통상 3개월 단위로 이자 교환 10년 이상의 OISs도 존재 OIS rate as RFR(Risk free rate) OIS rate는 이자율 스왑에서 변동 준거금리와 교환되는 고정금리를 의미한다. 해당 금리는 채권에서 zero rate와 같이 파생상품 pricng 등에서 RFR로 사용될 수 있는데, 직관적으로 매 기간동안 Risk free로 볼 수 있는 SOFR 금리에 대응되는 금리이므로 미래의 변동 금리 불확실성이 사라진 하나의 고정금리, 의미 그대로 risk free rate으로 생각해볼 수 있다. 따라서 zero rate와 동일하게 만기별 OIS rate로부터 bootstrap 방식을 통해 OIS Curve를 얻을 수 있다. 1년 이하 만기의 OIS rate는 교환이 1번 이루어지므로 그 자체로 risk-free zero rate로 이해할 수 있으며, OIS 금리를 연율화함으로써 zero rate로 활용한다. 1년 초과 만기의 OIS rate는 각 만기별 OIS zero rate를 활용하여 고정금리의 현금흐름 가치의 합이 원금과 동일하게 만드는 금리를 연율 기준 zero rate로 활용한다. ...