[파생상품 이론] Swaps

JohnC.Hull, (2022, chapter 7), Option, Futures, and other derivatives(11th global ed.) 내용 요약·정리

1. Review: FRA

Key Takeaway

• FRA Long : borrower(고정금리 지급하므로 자금 차입 개념), FRA Short : Lender (고정금리 수취하므로 대출자 개념)

• FRA Long: 사전 협상된 고정금리 이자 지급, 변동금리 수취

• FRA Long Payoff는 변동금리 - 고정금리

• FRA의 가치는 선도금리와 계약고정금리 간의 현금흐름 차이로 이해할 수 있으며, 시간에 따라 선도금리가 변하면서 변해감

Forward Rate Agreement(FRA)

: 미래의 reference rate(변동)과 사전 정의된 선도 금리(fixed rate) 간의 교환 계약으로 원금은 교환하지 않고, 이자만 교환한다.

: 준거금리는 통상 LIBOR가 사용되었으나, LIBOR 금지 이후 3개월 SOFR, SONIA 등이 사용

: FRA 매수자(borrower)는 사전 협상된 고정금리로 이자를 지급하고 변동금리를 수취

: FRA Long Payoff는 변동금리 - 고정금리

: (이자 지급 시점에 준거금리 > 고정금리) Long -> 준거금리와 고정금리 차이만큼 receive, Short -> pay

: (이자 지급 시점에 준거금리 < 고정금리) Long -> 준거금리와 고정금리 차이만큼 pay, Short -> receive

• (Hedge Strategy) 변동금리 borrower가 FRA long을 할 경우, 고정금리 지급으로 payoff가 고정

Long position(borrower) payoff - 고정금리 지급, 준거금리 수취

$$L(R_{reference}-R_{fix})(T_2-T_1)~at~T_2 \\ L(R_{reference}-R_{fix})(T_2-T_1)/[1+R_{reference}(T_2-T_1)]~at~T_1$$

Short position(Payer) payoff - 고정금리 수취, 준거금리 지급

$$-L(R_{reference}-R_{fix})(T_2-T_1)~at~T_2 \\ -L(R_{reference}-R_{fix})(T_2-T_1)/[1+R_{reference}(T_2-T_1)]~at~T_1$$

위의 식에서 금리는 모두 T1과 T2 기간중 compounding frequency 기준으로 표현된 금리(연속 복리금리 x)

Valuation

사전 협의 금리를 통상 선도금리로 할 경우 reference rate로 현 시점에서 고정되는 금리와 선도금리가 동일하므로 FRA의 가치는 0이 된다(각자의 현금흐름이 0). 하지만, 시간이 지날수록 reference rate가 변동하므로 FRA의 가치는 변하게 된다.

(Cf. market maker(은행)의 bid(매수)-ask(매도) 차이로 인해 market maker는 소폭의 (+)FRA, 상대측은 소폭의 (-)FRA)

FRA Valuation : 선도금리가 실현된다고 가정한다면 valuation 가능. T2 시점에서의 payoff를 현재가치로 할인

$$\begin{align*} (\text{Long}) \quad &L(R_{\text{forward}} - R_{\text{fix}})(T_2 - T_1)e^{-R_2 T_2} \\ (\text{Short}) \quad &-L(R_{\text{forward}} - R_{\text{fix}})(T_2 - T_1)e^{-R_2 T_2} \end{align*}$$

2. Interest rate swaps

스왑(Swaps)은 정해진 규칙에 따라 미래 특정 시점에 현금흐름을 교환하는 것을 의미한다. 앞서 살펴본 Forward rate agreement는 한번의 현금흐름을 교환한다는 측면에서 스왑의 가장 간단한 형태라고 볼 수 있다.

이중 이자율 스왑에서 명시해야하는 정해진 규칙은

• 사전 정의된 고정금리(Predetermined fixed rate)

• 변동 준거금리(Floating reference rate)

• 원금(Principal). 단, 교환은 하지 않음

• 교환주기

이때 변동 준거금리는 과거 LIBOR가 주로 사용되었으나, LIBOR가 점차 폐지되면서 Overnight reference rate(SOFR, SONIA 등)을 기준으로 한 스왑 Overnight Indexed Swaps(OISs)이 활발하다.

Cf. LIBOR와 OIS 간 차이는 Forward / Backward looking의 차이. LIBOR는 적용기간 시작에 정해지나, OIS는 실현금리이므로 종료시점에 결정

OIS는 기간에 따라 이자지급 주기가 상이하게 되는데,

• 1년 미만 OISs : 통상 만기시점에 단일 교환(single exchnage)

• 1년 초과 OISs : 통상 3개월 단위로 이자 교환

  • 10년 이상의 OISs도 존재

OIS rate as RFR(Risk free rate)

OIS rate는 이자율 스왑에서 변동 준거금리와 교환되는 고정금리를 의미한다. 해당 금리는 채권에서 zero rate와 같이 파생상품 pricng 등에서 RFR로 사용될 수 있는데, 직관적으로 매 기간동안 Risk free로 볼 수 있는 SOFR 금리에 대응되는 금리이므로 미래의 변동 금리 불확실성이 사라진 하나의 고정금리, 의미 그대로 risk free rate으로 생각해볼 수 있다. 따라서 zero rate와 동일하게 만기별 OIS rate로부터 bootstrap 방식을 통해 OIS Curve를 얻을 수 있다.

• 1년 이하 만기의 OIS rate는 교환이 1번 이루어지므로 그 자체로 risk-free zero rate로 이해할 수 있으며, OIS 금리를 연율화함으로써 zero rate로 활용한다.

• 1년 초과 만기의 OIS rate는 각 만기별 OIS zero rate를 활용하여 고정금리의 현금흐름 가치의 합이 원금과 동일하게 만드는 금리를 연율 기준 zero rate로 활용한다.

  1. 단계별로 이를 이해해보면, OIS는 변동금리 채권과 고정금리 채권 간의 현금흐름 교환이며, 첫 계약 체결 시점에서는 양측의 현금흐름이 동일하도록 하여 OIS 가치=0이어야 한다.

  2. 이를 통해 변동금리 채권 현금흐름의 현재가치 = 고정금리 채권 현금흐름의 현재가치가 성립한다.

  3. 먼저, 변동금리 채권 현금흐름을 살펴보면, 원금에 대하여 매기간마다 측정된 SOFR에 따라 쿠폰이 주어지며 이는 매 기간 발생하는 현금흐름이 SOFR에 따라 원금에 단순히 시간가치가 더해져 발생하는 의미를 지닌다. 따라서 해당 채권의 가격은 원금 그 자체여야 하며, 만약 이보다 작거나 낮게 되면 채권 수요가 매칭되지 않게 된다.

     1. 따라서 원금 (Par)= 변동금리 채권의 가치이고 이는 즉, 고정금리 채권의 가치와 동일

     2. OIS rate를 구하기 위해서는 고정금리 채권의 가치 = 원금이 되도록 하는 해당 만기 zero rate를 계산

  4. 만약 고정금리 채권부터 논리의 흐름을 전개한다면 보다 간단하게 이해할 수 있는데, OIS를 통한 고정금리의 현금흐름은 OIS rate를 쿠폰금리로 발행된 채권과 동일한 의미를 갖게 되며, 발행금리 = 쿠폰금리이면 해당 채권은 Par value를 갖는다.

아래 그림은 2년 OIS rate로부터 2년 zero rate를 구하는 과정이며, 3, 6, 12개월 이외의 zero rate는 spline 또는 linear 방식으로 함수를 연결한 후 채권가격 = 원금인 해찾기를 통해 2년 zero rate(노란색)을 구한 것이다.

 Reasons for trading interest rate swaps

• 부채 변환 (고정금리 <-> 변동금리)

• 자산 변환 (고정금리 <-> 변동금리)

 The organization of trading

호가는 고정 이자율 기준으로 표시되며

Bid(매수) : 고정 이자율 지급, 변동 이자율 수취

Ask(매도) : 고정 이자율 수취, 변동 이자율 지급

Bid와 Ask 간의 차이를 spread, Bid와 Ask의 평균을 swap rate라 한다.

Swap Motivation : The comparative-advantage argument

 스왑을 하는 동기중 하나로 비교우위론을 제시한다. 모든 플레이어가 절대우위를 가질 수 있는 것은 아니지만, 비교우위는 항상 발생할 수 있다. 비교우위는 상대적으로 더 큰 우위를 지닌 ...