JohnC.Hull, (2022, chapter 17), Option, Futures, and other derivatives(11th global ed.) 내용 요약·정리
주가지수 옵션 hedging
나의 포트폴리오를 hedge하기 위해 option을 사용할 수 있다. 이때 필요한 옵션 계약수 는 아래 공식에 의해 결정
Portfolio Value Times × index × β \frac {\text{Portfolio~Value}}{\text{Times} \times \text{index} } \times \beta Times × index Portfolio Value × β 한편, 옵션의 strike price 는 만기 시점에 index 값에 따라 변화하는 포트폴리오의 value를 계산하고 protection leve에 대응되는 index level 을 strike price로 설정
Ex1. Dividend가 없는 경우 에는 port value 하락률에 대응하는 index level이 strike price
index 1,000에서 포트폴리오 가치가 $500,000일 때, $450,000 아래로 포트폴리오 가치가 하락하지 않기 위해서는 450,000/500,000 -1 = -10% 하락에 대응하는 주가지수 900을 strike price로 설정
Ex2. Dividend가 있는 경우 에는 index total return을 기반으로 CAPM을 활용하여 포트폴리오의 기대수익률을 계산하고, 이를 통해 주가지수별 포트폴리오 Value를 계산. 이후 protection level에 대응되는 주가지수가 strike price
Index total return = Return + yield
CAPM : Portfolio expected return = Rf + beta*(Index Total Return - Rf)
Expected change in value of portfolio : (dividend 고려한 protection) CAPM 값, (divident 고려 X) CAPM - yield
아래 그림은 배당금을 고려하지 않은 protection level로 portfolio value를 계산하였으며, 만약 포트폴리오 가치를 $450,000에서 방어하고 싶다면, $450,000에 대응되는 960이 strike price
(배당금이 대략 1%로 $5,000이므로 이를 포함하여 고려한다면, $445,000이 protection level - index 955 정도가 행사가격)
배당률 q 주식의 옵션 pricing
배당률 q를 지급하는 해당 배당률만큼 주식 가치의 할인을 받게 된다.
이를 다른 관점에서 생각해보면, 배당이 없지만 q만큼 할인된 주식가격을 갖는 주식과 동일하며, 이를 option pricing에서 활용할 수 있다.
즉, 기초자산의 옵션가격을 S 0 e − q T S_0 e^{-qT} S 0 e − qT 으로 설정하여 미분방정식과 옵션가격 공식을 도출.
이에 기반하여 옵션의 하한, 풋-콜 패리티, American option inequality, BSM 관련 방정식이 아래와 같이 대체
옵션 Properties
c ≥ max ( S 0 e − q T − K e − r T , 0 ) p ≥ max ( K e − r T − S 0 e − q T , 0 ) c + K e − r T = p + S 0 e − q T S 0 e − q T ′ − K ≤ C − P ≤ S 0 − K e − r T ′ c \geq \max(S_0 e^{-qT} - K e^{-rT}, 0)
\\
p \geq \max(K e^{-rT} - S_0 e^{-qT}, 0)
\\
c + K e^{-rT} = p + S_0 e^{-qT}
\\
S_0 e^{-qT'} - K \leq C - P \leq S_0 - K e^{-rT'}
c ≥ max ( S 0 e − qT − K e − r T , 0 ) p ≥ max ( K e − r T − S 0 e − qT , 0 ) c + K e − r T = p + S 0 e − qT S 0 e − q T ′ − K ≤ C − P ≤ S 0 − K e − r T ′ BSM 공식
c = S 0 e − q T N ( d 1 ) − K e − r T N ( d 2 ) p = K e − r T N ( − d 2 ) − S 0 e − q T N ( − d 1 ) where d 1 = ln ( S 0 / K ) + ( r − q + σ 2 / 2 ) T σ T d 2 = ln ( S 0 / K ) + ( r − q − σ 2 / 2 ) T σ T = d 1 − σ T \begin{align*}
&c = S_0 e^{-qT} N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2) \\
&p = K e^{-rT} N(-d_2) - S_0 e^{-qT} N(-d_1) \\
&\text{where} ~~d_1 = \frac{\ln(S_0 / K) + (r - q + \sigma^2 / 2)T}{\sigma \sqrt{T}} \\
&~~~~~~~~~~~~d_2 = \frac{\ln(S_0 / K) + (r - q - \sigma^2 / 2)T}{\sigma \sqrt{T}} = d1 - \sigma \sqrt{T}
\end{align*}
c = S 0 e − qT N ( d 1 ) − K e − r T N ( d 2 ) p = K e − r T N ( − d 2 ) − S 0 e − qT N ( − d 1 ) where d 1 = σ T ln ( S 0 / K ) + ( r − q + σ 2 /2 ) T d 2 = σ T ln ( S 0 / K ) + ( r − q − σ 2 /2 ) T = d 1 − σ T d S = ( r − q ) S d t + σ S d z dS = (r-q)S dt + \sigma S dz d S = ( r − q ) S d t + σ S d z ∂ f ∂ t + ( r − q ) S ∂ f ∂ S + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 f ∂ S 2 = r f \frac{\partial f}{\partial t} + (r - q)S \frac{\partial f}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} = rf
∂ t ∂ f + ( r − q ) S ∂ S ∂ f + 2 1 σ 2 S 2 ∂ S 2 ∂ 2 f = r f
Using Forward price
배당률 q를 지급하는 주가는 아래와 같이 선도가격과 risk free rate로 대체할 수 있다. 따라서 배당률을 모르는 상황에서도 선도가격을 알고 있다면 , 이를 옵션가격 계산에 활용할 수 있다.
F 0 = S 0 e ( r − q ) T F 0 e − r T = S 0 e − q T F_0 = S_0 e^{(r-q)T}
\\
F_0e^{-rT} = S_0 e^{-qT} F 0 = S 0 e ( r − q ) T F 0 e − r T = S 0 e − qT c = e − r T [ F 0 N ( d 1 ) − K N ( d 2 ) ] p = e − r T [ K N ( − d 2 ) − F 0 N ( − d 1 ) ] w h e r e d 1 = ln ( F 0 / K ) + σ 2 T / 2 σ T d 2 = d 1 − σ T \begin{align*}
c &= e^{-rT} [F_0 N(d_1) - KN(d_2)] \\
p &= e^{-rT} [KN(-d_2) - F_0 N(-d_1)] \\
where&~~d_1 = \frac{\ln(F_0 / K) + \sigma^2 T / 2}{\sigma \sqrt{T}} \\
&~~d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}
\end{align*}
c p w h ere = e − r T [ F 0 N ( d 1 ) − K N ( d 2 )] = e − r T [ K N ( − d 2 ) − F 0 N ( − d 1 )] d 1 = σ T ln ( F 0 / K ) + σ 2 T /2 d 2 = d 1 − σ T c + K e − r T = p + S 0 e − q T ⇒ F 0 = K + ( c − p ) e r T , q = − 1 T ln ( c − p + K e − r T S 0 )
c + Ke^{-rT} = p + S_0e^{-qT} \\
~~~~~~\Rightarrow F_0 = K + (c - p)e^{rT}, ~~~
q = -\frac{1}{T} \ln \left(\frac{c - p + Ke^{-rT}}{S_0}\right)
c + K e − r T = p + S 0 e − qT ⇒ F 0 = K + ( c − p ) e r T , q = − T 1 ln ( S 0 c − p + K e − r T ) <정리>
주가, 배당률 q -> call, put option price 도출
선도가격 only -> call, put option price 도출
option prices -> 선도가격 도출
option prices, S -> 배당률 q 도출
참고. Risk-Neutral Valuation approach RIsk-neutral world에서는 known yield q를 가진 주가의 T시점까지의 growth rate = r-q 이므로 T시점의 expected payoff는 E Q ( S T ) = S 0 e ( r − q ) T E^Q(S_T) = S_0 e^{(r-q)T} E Q ( S T ) = S 0 e ( r − q ) T 를 활용하여 아래와 같이 표현할 수 있으며(by lemma ),
e ( r − q ) T S 0 N ( d 1 ) − K N ( d 2 ) e^{(r-q)T}S_0 N(d_1) -KN(d_2) e ( r − q ) T S 0 N ( d 1 ) − K N ( d 2 ) 이를 현재 가치화할 경우 call option 가격을 도출할 수 있다. (option pricing의 가격과 동일)
c = e − r T ( e ( r − q ) T S 0 N ( d 1 ) − K N ( d 2 ) ) = S 0 e − q T N ( d 1 ) − K e − r T N ( d 2 ) c = e^{-rT} \left ( e^{(r-q)T} S_0 N(d_1) -KN(d_2)\right) = S_0 e^{-qT} N(d_1) -Ke^{-rT} N(d_2) c = e − r T ( e ( r − q ) T S 0 N ( d 1 ) − K N ( d 2 ) ) = S 0 e − qT N ( d 1 ) − K e − r T N ( d 2 )
Lemma . V가 로그노말 분포를 지니고 lnV의 표준편차가 w일때, 아래가 성립
E [ max ( V − K , 0 ) ] = E ( V ) N ( d 1 ) − K N ( d 2 ) d 1 = ln ( E ( V ) K ) + w 2 2 w d 2 = ln ( E ( V ) K ) − w 2 2 w \begin{align*}
E[\max(V - K, 0)] &= E(V) N(d_1) - K N(d_2) \\
d_1 &= \frac{\ln\left(\frac{E(V)}{K}\right) + \frac{w^2}{2}}{w} \\
d_2 &= \frac{\ln\left(\frac{E(V)}{K}\right) - \frac{w^2}{2}}{w} \\
\end{align*}
E [ max ( V − K , 0 )] d 1 d 2 = E ( V ) N ( d 1 ) − K N ( d 2 ) = w ln ( K E ( V ) ) + 2 w 2 = w ln ( K E ( V ) ) − 2 w 2 통화옵션 Hedging
외국환 노출에 대한 hedge 방법은 크게 세가지가 존재한다.
Option : 보험적 성격을 지니고 있으나, 비용 지불
Forward : 미래 거래를 수행하므로 비용 x
Range forward Contract : 풋옵션과 콜옵션 조합을 통해 일정 범위는 payoff가 0인 합성 포지션 구축. 행사가격이 다르지만, 두 옵션 가격이 같은 두 옵션 조합을 구축함으로써 zero cost hedge가 가능
외환을 ...