[파생상품 이론] The Greek Letters

JohnC.Hull, (2022, chapter 17), Option, Futures, and other derivatives(11th global ed.) 내용 요약·정리 주가지수 옵션 hedging 나의 포트폴리오를 hedge하기 위해 option을 사용할 수 있다. 이때 필요한 옵션 계약수는 아래 공식에 의해 결정 Portfolio Value Times × index × 𝛽 Times×index Portfolio Value ​ ×β 한편, 옵션의 strike price는 만기 시점에 index 값에 따라 변화하는 포트폴리오의 value를 계산하고 protection leve에 대응되는 index level을 strike price로 설정 Ex1. Dividend가 없는 경우에는 port value 하락률에 대응하는 index level이 strike price index 1,000에서 포트폴리오 가치가 $500,000일 때, $450,000 아래로 포트폴리오 가치가 하락하지 않기 위해서는 450,000/500,000 -1 = -10% 하락에 대응하는 주가지수 900을 strike price로 설정 Ex2. Dividend가 있는 경우에는 index total return을 기반으로 CAPM을 활용하여 포트폴리오의 기대수익률을 계산하고, 이를 통해 주가지수별 포트폴리오 Value를 계산. 이후 protection level에 대응되는 주가지수가 strike price Index total return = Return + yield CAPM : Portfolio expected return = Rf + beta*(Index Total Return - Rf) Expected change in value of portfolio : (dividend 고려한 protection) CAPM 값, (divident 고려 X) CAPM - yield 아래 그림은 배당금을 고려하지 않은 protection level로 portfolio value를 계산하였으며, 만약 포트폴리오 가치를 $450,000에서 방어하고 싶다면, $450,000에 대응되는 960이 strike price (배당금이 대략 1%로 $5,000이므로 이를 포함하여 고려한다면, $445,000이 protection level - index 955 정도가 행사가격) 배당률 q 주식의 옵션 pricing 배당률 q를 지급하는 해당 배당률만큼 주식 가치의 할인을 받게 된다. 이를 다른 관점에서 생각해보면, 배당이 없지만 q만큼 할인된 주식가격을 갖는 주식과 동일하며, 이를 option pricing에서 활용할 수 있다. 즉, 기초자산의 옵션가격을 𝑆 0 𝑒 − 𝑞 𝑇 S 0 ​ e −qT 으로 설정하여 미분방정식과 옵션가격 공식을 도출. 이에 기반하여 옵션의 하한, 풋-콜 패리티, American option inequality, BSM 관련 방정식이 아래와 같이 대체 옵션 Properties 𝑐 ≥ max ⁡ ( 𝑆 0 𝑒 − 𝑞 𝑇 − 𝐾 𝑒 − 𝑟 𝑇 , 0 ) 𝑝 ≥ max ⁡ ( 𝐾 𝑒 − 𝑟 𝑇 − 𝑆 0 𝑒 − 𝑞 𝑇 , 0 ) 𝑐 + 𝐾 𝑒 − 𝑟 𝑇 = 𝑝 + 𝑆 0 𝑒 − 𝑞 𝑇 𝑆 0 𝑒 − 𝑞 𝑇 ′ − 𝐾 ≤ 𝐶 − 𝑃 ≤ 𝑆 0 − 𝐾 𝑒 − 𝑟 𝑇 ′ c≥max(S 0 ​ e −qT −Ke −rT ,0) p≥max(Ke −rT −S 0 ​ e −qT ,0) c+Ke −rT =p+S 0 ​ e −qT S 0 ​ e −qT ′ −K≤C−P≤S 0 ​ −Ke −rT ′ BSM 공식 𝑐 = 𝑆 0 𝑒 − 𝑞 𝑇 𝑁 ( 𝑑 1 ) − 𝐾 𝑒 − 𝑟 𝑇 𝑁 ( 𝑑 2 ) 𝑝 = 𝐾 𝑒 − 𝑟 𝑇 𝑁 ( − 𝑑 2 ) − 𝑆 0 𝑒 − 𝑞 𝑇 𝑁 ( − 𝑑 1 ) where   𝑑 1 = ln ⁡ ( 𝑆 0 / 𝐾 ) + ( 𝑟 − 𝑞 + 𝜎 2 / 2 ) 𝑇 𝜎 𝑇              𝑑 2 = ln ⁡ ( 𝑆 0 / 𝐾 ) + ( 𝑟 − 𝑞 − 𝜎 2 / 2 ) 𝑇 𝜎 𝑇 = 𝑑 1 − 𝜎 𝑇 ​ c=S 0 ​ e −qT N(d 1 ​ )−Ke −rT N(d 2 ​ ) p=Ke −rT N(−d 2 ​ )−S 0 ​ e −qT N(−d 1 ​ ) where  d 1 ​ = σ T ​ ln(S 0 ​ /K)+(r−q+σ 2 /2)T ​             d 2 ​ = σ T ​ ln(S 0 ​ /K)+(r−q−σ 2 /2)T ​ =d1−σ...

JohnC.Hull, (2022, chapter 15), Option, Futures, and other derivatives(11th global ed.) 내용 요약·정리 블랙-숄즈-머튼 모형 기초 개요 Black & Scholes는 CAPM을 활용하여 옵션에 대한 시장의 요구 수익률과 주식에 대한 요구 수익률 사이의 관계를 설정하였으며, Merton은 옵션과 기초 주식으로 구성된 무위험 포트폴리오을 통해 짧은 기간동안의 포트폴리오 수익률이 risk-free rate되어야 한다고 주장. BSM의 연구 업적이 집대성되어 BSM Option pricing model으로 발전 주가 프로세스  BSM에서는 stock price의 % 변화가 짧은 시간동안 normal distribution을 따른다고 가정한다. 이 경우 chapter 14의 Ito's Lemma를 적용함으로써 주가 S 자체의 process는 로그노말 프로세스를 따르는 것으로 도출된다. Δ 𝑆 𝑆 ∼ 𝜙 ( 𝜇 Δ 𝑡 , 𝜎 2 Δ 𝑡 ) 𝑊 ℎ 𝑒 𝑟 𝑒   𝑑 𝑆 = 𝜇 𝑆 𝑑 𝑡 + 𝜎 𝑆 𝑑 𝑧 S ΔS ​ ∼ϕ(μΔt,σ 2 Δt) Where dS=μSdt+σSdz By Ito's Lemma, Log S는 drift rate가 𝜇 − 𝜎 2 2 μ− 2 σ 2 ​ , variance rate가 𝜎 2 σ 2 인 Generalized Wiener process를 따르며, 𝑑 ( 𝑙 𝑜 𝑔 𝑆 ) = ( 𝜇 − 𝜎 2 2 ) 𝑑 𝑡 + 𝜎 𝑑 𝑧 d(logS)=(μ− 2 σ 2 ​ )dt+σdz 주가 S는 아래와 같은 log normal 분포를 가진다. ln ⁡ 𝑆 𝑇 − ln ⁡ 𝑆 0 ∼ 𝜙 ( ( 𝜇 − 𝜎 2 2 ) 𝑇 , 𝜎 2 𝑇 ) ln ⁡ 𝑆 𝑇 ∼ 𝜙 [ ln ⁡ 𝑆 0 + ( 𝜇 − 𝜎 2 2 ) 𝑇 , 𝜎 2 𝑇 ] lnS T ​ −lnS 0 ​ ∼ϕ((μ− 2 σ 2 ​ )T,σ 2 T) lnS T ​ ∼ϕ[lnS 0 ​ +(μ− 2 σ 2 ​ )T,σ 2 T] 로그 노말 특성에 따라 주가 S의 평균과 표준편차는 아래와 같이 구할 수 있다. 𝐸 ( 𝑆 ) = exp ⁡ ( ln ⁡ 𝑆 0 + ( 𝜇 − 𝜎 2 2 ) 𝑇 + 𝜎 2 𝑇 2 ) = 𝑆 0 ⋅ 𝑒 𝜇 𝑇 Var ( 𝑆 ) = ( 𝑒 𝜎 2 𝑇 − 1 ) 𝑒 2 ln ⁡ 𝑆 0 + 2 ( 𝜇 − 𝜎 2 2 ) 𝑇 + 𝜎 2 𝑇 = 𝑆 0 2 ⋅ ( 𝑒 𝜎 2 𝑇 − 1 ) ⋅ 𝑒 2 𝜇 𝑇 E(S)=exp(lnS 0 ​ +(μ− 2 σ 2 ​ )T+ 2 σ 2 T ​ )=S 0 ​ ⋅e μT Var(S)=(e σ 2 T −1)e 2lnS 0 ​ +2(μ− 2 σ 2 ​ )T+σ 2 T =S 0 2 ​ ⋅(e σ 2 T −1)⋅e 2μT 참고1. 로그 노말 분포의 특성( 𝐿 𝑜 𝑔   𝑋 ∼ 𝑁 ( 𝜇 , 𝜎 2 ) Log X∼N(μ,σ 2 ) 𝐸 ( 𝑋 ) = 𝑒 𝜇 + 𝜎 2 2 E(X)=e μ+ 2 σ 2 ​ Var ( 𝑋 ) = ( 𝑒 𝜎 2 − 1 ) 𝑒 2 𝜇 + 𝜎 2 Var(X)=(e σ 2 −1)e 2μ+σ 2   참고2. 실현 수익률의 분포(continuously compounded 기준) 실현 수익률 x에 대해 𝑆 𝑇 = 𝑆 0 𝑒 𝑥 𝑇 S T ​ =S 0 ​ e xT 𝑥 = 1 𝑇 𝑙 𝑛 ( 𝑆 𝑇 𝑆 0 ) x= T 1 ​ ln( S 0 ​ S T ​ ​ ) 주가의 분포가 로그노말 분포이므로 실현 수익률 x는 아래와 같은 Normal distribution을 갖는다. 𝑥 ∼ 𝜙 ( 𝜇 − 𝜎 2 2 , 𝜎 2 𝑇 ) x∼ϕ(μ− 2 σ 2 ​ , T σ 2 ​ ) (평균) 수익률의 평균이 u가 아닌 u보다 조금 작은 값. 통상 기간중 수익률을 계산할 때 기하평균을 사용해야하는 이유를 설명하기도 한다. 단순 산술평균은 기하평균보다 항상 크기 때문에 수익률을 과대평가할 수 있다. 따라서 뒤의 변동성 부분은 log 함수의 오목함, 산술평균과 기하평균의 보정으로 이해해야 한다. (변동성) 위의 식을 보면, T가 길어질수록 실현 수익률의 변동성이 작아지는 것을 알 수 있다. 이는 주가의 평균 수익률 관측시 1년보다 10년, 20년 장기적으로 바라볼 때 해당 수익률의 신뢰도가 높아지는(불확실성이 낮은) 것을 수식적으로 설명한다. 참고3. 변동성(Volatility) 변동성의 측정 방법은 역사적 변동성, 내재변동성으로 크게 나눌 수 있다. 역사적 변동성을 구할때는 표본 기간에 따라 이를 연율화 기준으로 변환하는 작업이 필요하다. 만약 1주(1/52)의 전일대비 수익률(u)로 표본 표준편차(s)를 구했다면, 이는 𝑙 𝑛 ( 𝑆 𝑇 𝑆 0 ) ln( S 0 ​ S T ​ ​ ) 변동성의 추정치이며, T(1/52)를 조정해줘야 한다. (52의 제곱근을 곱해줌) 𝑠 ^ = 𝜎 𝑇 ⇒ 𝜎 = 𝑠 ^ 𝑇 s ^ =σ T ​ ⇒σ= T ​ s ^ ​ 한편, 옵션은 기간에 따라 변동성이...

JohnC.Hull, (2022, chapter 14), Option, Futures, and other derivatives(11th global ed.) 내용 요약·정리 주요 개념 Markov Process 미래를 예측하는데 있어 현재의 가치만이 중요한 확률 가정을 의미. 즉, 과거의 기록은 예측에 무의미라는 뜻. 주가를 예로 들면, 미래 주가를 예측하는 데 있어 과거의 주가는 중요하지 않다. 𝑃 ( 𝑋 𝑛 + 1 = 𝑥 ∣ 𝑋 𝑛 , 𝑋 𝑛 − 1 , . . . , 𝑋 1 ) = 𝑃 ( 𝑋 𝑛 + 1 = 𝑥 ∣ 𝑋 𝑛 ) P(X n+1 ​ =x∣X n ​ ,X n−1 ​ ,...,X 1 ​ )=P(X n+1 ​ =x∣X n ​ ) 주식이 Markov property를 가진 process를 따른다면, 해당 시장에서는 약형 시장 효율가설(Weak Efficient-Market Hypothesis)이 성립하는 시장이다. 즉, 과거의 정보들(과거 주가 추이, 차트 등)로 미래의 초과 수익을 보장할 수 없다. Markov variation(다른 표현 또는 특성) Time-homogeneous Process : conditional probability이 시간에 종속되지 않고 모두 동일 𝑃 ( 𝑋 𝑛 + 1 ∣ 𝑋 𝑛 ) = 𝑃 ( 𝑋 𝑛 ∣ 𝑋 𝑛 − 1 )   𝑓 𝑜 𝑟   ∀ 𝑛 P(X n+1 ​ ∣X n ​ )=P(X n ​ ∣X n−1 ​ ) for ∀n cf. Semi-stong & Strong EMH Semi-strong EMH : 공개적 정보는 이미 주가에 반영, Fundamental Analysis는 초과수익을 얻을 수 없음 Strong EMH : 사적 정보까지 이미 주가에 반영되어 있음 Wiener Process 평균이 0이고 분산이 연간 1인 markov stochastic process로 아래의 특성을 지니며, 물리학에서는 Brownian Motion으로도 알려져 있음. Δ 𝑧 = 𝜖 Δ 𝑡 ,   𝜖 ∼ 𝜙 ( 0 , 1 ) Δz=ϵ Δt ​ , ϵ∼ϕ(0,1), 변동성(표준편차)가 시간 제곱근에 비례 공통기간이 없는 두 process는 서로 independent (Markov 특성) 이에 따라 시간에 따라 자유롭게 합치거나 나눌 수 있으며, 평균과 분산도 additive가 성립 1년간 주가 움직임의 확률분포가 N(0,1)일 때, 2년간 주가움직임의 확률분포는 두 결합분포의 합. 반면, 6개월간 주가 움직임의 확률분포는 두 개의 6개월 간 확률분포 합이 N(0, 1)이어야 하므로, N(0, 0.5)이다. 위너 프로세스 정의에 따라 Time T간의 변화는 N(0, T)의 정규분포를 따르게 되며, 𝑍 ( 𝑇 ) − 𝑍 ( 0 ) ∼ 𝜙 ( 0 , 𝑇 ) Z(T)−Z(0)∼ϕ(0,T) t>s인 두 위너 프로세스 간에는 s가 t에 종속되므로 addictive property + covariance가 s를 따르게 된다는 점을 고려시 아래와 같은 특징을 가지게 된다. 𝑍 ( 𝑡 ) − 𝑍 ( 𝑆 ) = 𝑍 ( 𝑡 − 𝑠 ) Var ( 𝑍 ( 𝑡 ) − 𝑍 ( 𝑠 ) ) ...

JohnC.Hull, (2022, chapter 13), Option, Futures, and other derivatives(11th global ed.) 내용 요약·정리 대전제 No arbitrage opportunities 주식과 옵션을 활용하여 riskless 복제 포트폴리오 구축 Riskless 포트폴리오의 수익률은 RIsk-free rate 옵션 가격은 포트폴리오 구축 비용 Binomial Tree Option Pricing & Riskless portfolio 현재 가격 𝑆 0 S 0 ​ , 옵션 가격 f, 상승시 주식가격 𝑆 0 𝑢 S 0 ​ u, 하락시 주식가격 𝑆 0 𝑑 S 0 ​ d, 파생상품 만기 T Riskless 포트폴리오 : Δ ΔLong shares 주식, Short 1 콜옵션 (상승시 payoff) 𝑆 0 𝑢 Δ − 𝑓 𝑢 S 0 ​ uΔ−f u ​ (하락시 payoff) 𝑆 0 𝑑 Δ − 𝑓 𝑑 S 0 ​ dΔ−f d ​ Riskless 포트폴리오이기 위해서는 미래 시점의 payoff가 동일 미래 시점의 payoff가 동일하기 위해서는 Delta가 아래 식을 만족해야함 Delta는 옵션 Greeks에서의 정의와 같이 "옵션 가격변화 / 주식 가격변화"로 이해 가능 Δ = 𝑓 𝑢 − 𝑓 𝑑 𝑆 0 𝑢 − 𝑆 0 𝑑 Δ= S 0 ​ u−S 0 ​ d f u ​ −f d ​ ​ RIskless 포트폴리오의 수익률 = Risk-free rate이므로 현재 포트폴리오 가치 = PV (미래 가치) 𝑆 0 Δ − 𝑓 = ( 𝑆 0 𝑢 Δ − 𝑓 𝑢 ) 𝑒 − 𝑟 𝑇 𝑂 𝑝 𝑡 𝑖 𝑜 𝑛   𝑝 𝑟 𝑖 𝑐 𝑒 = 𝑓 = 𝑆 0 Δ − ( 𝑆 0 𝑢 Δ − 𝑓 𝑢 ) 𝑒 − 𝑟 𝑇 S 0 ​ Δ−f=(S 0 ​ uΔ−f u ​ )e −rT Option price=f=S 0 ​ Δ−(S 0 ​ uΔ−f u ​ )e −rT 2번과 3번을 결합하여, 식을 정리하면 𝑓 = [ 𝑝 𝑓 𝑢 + ( 1 − 𝑝 ) 𝑓 𝑑 ] 𝑒 − 𝑟 𝑇 𝑤 ℎ 𝑒 𝑟 𝑒    𝑝 = 𝑒 𝑟 𝑇 − 𝑑 𝑢 − 𝑑   :   𝑅 𝑖 𝑠 𝑘 − 𝑛 𝑒 𝑢 𝑡 𝑟 𝑎 𝑙   𝑝 𝑟 𝑜 𝑏 𝑎 𝑏 𝑖 𝑙 𝑖 𝑡 𝑦 f=[pf u ​ +(1−p)f d ​ ]e −rT where  p= u−d e rT −d ​  : Risk−neutral probability 요약하면, 옵션 가격은 risk-neutral probabilry를 활용한 평균 미래 가격의 현재가치. 또한 해당 식에서 얻을 수 있는 insight는 옵션 가격은 기초자산인 주식 ...

JohnC.Hull, (2022, chapter 11), Option, Futures, and other derivatives(11th global ed.) 내용 요약·정리  옵션 가격의 결정요인 옵션가격을 결정하는 요인에는 현재 기초자산 가격( 𝑆 0 S 0 ​ ), 행사가격(K), 잔존만기(T), 가격 변동성(σ), 이자율(r), 옵션 기간중 배당금의 현재가치(D) 총 6가지가 존재 기초자산 가격( 𝑆 0 S 0 ​ 가격이 올라갈수록 call option의 내재가치인 payoff( 𝑆 𝑇 − 𝐾 S T ​ −K)가 커지며 value 상승 Put option은 내재가치인 payoff( 𝐾 − 𝑆 𝑇 K−S T ​ )가 작아지면서 value 하락 행사가격(K) 행사가격이 올라갈수록 call option의 내재가치가 작아지면서 value 하락 Put option은 반대로 value 상승 잔존만기(T) (American option) 언제든 행사가 가능하므로 잔존만기가 길어질수록 value 상승 (European option) 통상 잔존만기가 길어질수록 value 상승하지만, 항상 성립하는 것은 아님 예외 case: 특정 시점에 배당을 지급할 것으로 기대되는 기초자산이 있을 경우, 배당 지급에 따라 기초자산 가격이 하락하며 이 경우 옵션 가치도 하락. 따라서 특정 시점 이전의 짧은 만기의 가치가 더욱 큼 가격 변동성(σ) 기초자산 가격의 변동성이 커질수록 in the money가 될 가능성이 높아지므로 value 상승 이자율(r) 모든 조건이 동일할 때, 이자율이 높아질수록 기초자산에 대한 요구수익률이 높아지고, 미래의 현금가치는 작아지게 된다. 종합적으로 미래의 payoff는 기초자산의 가격이 상승하는 효과(received +)와 미래 지불하는 가격이 작아지는 효과(pay -)로 call value 상승 Put option은 기초자산의 가격이 하락하는 효과와 미래 받게 되는 현금의 현재가치가 작아지는 효과로 value 하락 다만, 이자율은 다른 변수와 연관성이 높아 그 방향성이 혼재될 수 있음 예를 들어, 이자율이 올라갈수록 주가는 하락하는 경향이 있으므로 이를 통합할 경우 call value가 하락할 수 있음 옵션 기간중 배당금의 현재가치(D) 배당지급은 주가를 낮추는 요인으로 작용하므로 call value는 하락, put value는 상승 옵션 가격 범위와 차익거래 기회 주요 가정 거래비용 없음 모든 거래 순이익은 동일한 세율을 적용 무위험 이자율로 차입과 대출이 가능 시장참가자들은 차익거래에 적극 참여 위의 주요 가정은 모든 시장참가자일 필요는 없다. 일부 참가자에게만 성립하더라도 큰 규모의 거래를 통해 차익거래 기회를 해소할 수 있기 때문에 옵션의 공정가격 형성을 보장할 수 있다. upper and lower bound for options prices 옵션가격에는 상품 구조상 상한과 하한이 존재하게 된다. 만약 옵션 가격이 상한과 하한을 넘어갈 경우에는 차익거래 기회가 발생하면서 일부 참가자의 차익거래에 의해 해당 범위 안으로 다시 복귀하게 된다. [Call option] European 콜옵션 가격은 아래와 같은 상하한을 갖는다. 직관적으로 생각했을때, 옵션 가치는 보험적 성격으로 기초자산의 불확실성을 해소할 수 있는 장점이 있기 때문에 권리를 행사했을때의 가치(만기시점 payoff)보다 크거나 같아야 하며, 상품 구조상 기초자산의 현재 가격보다 클 수는 없다. 𝑀 𝑎 𝑥 ( 𝑆 0 − 𝐾 𝑒 − 𝑟 𝑇 , 0 ) ≤   𝑐   ≤ 𝑆 0 Max(S 0 ​ −Ke −rT ,0)≤ c ≤S 0 ​ 상한 콜옵션은 기초자산을 매수할 수 있는 권리를 부여하므로 상품 구조상 기초자산의 현재 가격을 넘어설 수 없다. 𝑐 ≤ 𝑆 0 c≤S 0 ​ 하한 무배당 European call option에 대해 아래 부등식이 성립 𝑐 ≥ max ⁡ ( 𝑆 0 − 𝐾 𝑒 − 𝑟 𝑇 , 0 ) c≥max(S 0 ​ −Ke −rT ,0) 아래 두개의 합성 포트폴리오를 생각하여 이를 증명해보면, A : European call option(행사가격 K) + zero coupon bond(만기 T, 액면가 K) B : 기초자산 S Payoff A = 𝑀 𝑎 𝑥 ( 𝑆 𝑇 , 𝐾 ) Max(S T ​ ,K), Payoff B = 𝑆 𝑇 S T ​ 항상 A의 가치가 B보다 크다. 따라서 이를 콜옵션과 K zero bond의 현재가치 합이 현재 주식가치보다 항상 크며, 콜옵션 가격이 음수가 될 수는 없으므로 아래 식이 성립 𝑐 + 𝐾 𝑒 − 𝑟 𝑇 ≥ 𝑆 0 ,   𝑐 ≥ 0   = >   𝑐 ≥ 𝑀 𝑎 𝑥 ( 𝑆 0 − 𝐾 𝑒 − 𝑟 𝑇 , 0 ) c+Ke −rT ≥S 0 ​ , c≥0 => c≥Max(S 0 ​ −Ke −rT ,0) (차익거래 예시) c = 3, S0 = 20, T=1, r=10%, K=18, D=0 일때, 콜옵션 가격의 하한을 계산하면, S0-Ke^{-rT} = 20-18*e(-0.1*1)=3.7로 현재 콜옵션 가격이 하한을 하회한다. 따라서 현재 기초자산을 공매도(+20)하고 해당 자금으로 콜옵션을 매수(-3), 남은 자금(17)은 10%로 무위험투자(만기시점 18.79)하면 무위험 차익을 얻을 수 있다. 만약 만기시점의 기초자산 가격이 18보다 크면, 콜옵션을 행사함으로써 주식을 18에 매수. 최종 profit = 0.79 ...