[파생상품 이론] Trading Strategies involving options

JohnC.Hull, (2022, chapter 19), Option, Futures, and other derivatives(11th global ed.) 내용 요약·정리 금융기관이 옵션을 발행하는 경우 옵션발행으로 비대칭적 옵션 포지션이 발생하고 이로 인핸 미래 payoff가 변동한다. 이러한 payoff 변동을 그대로 두는 것을 naked position이라 하며, 적절한 hedge를 통해 payoff 변동이 줄어들게 하는 것을 covered position이라 한다. 만약 금융기관이 민간 투자자에 대해 콜옵션을 발행하였다고 가정하자. 이 경우 금융기관은 콜옵션 매도 포지션을 갖게 되고 이를 적절히 헷지하기 위해서는 기초자산을 보유하고 있어야 한다. 간단하게 생각해볼 수 있는 hedge 전략은 stop and loss strategy이다. 이는 stock price에 따라 기초자산을 매수하고 매도하는 행위를 반복하는 전략인데, 만약 stock price가 행사가격을 상회하면 금융기관의 콜옵션 매도 포지션이 손실을 유발할 수 있으며 주식을 매수한다. 반대로 stock price가 행사가격을 하회하면 보유 주식을 매도함으로써 종합적인 position payoff를 중립으로 조절한다. 다만 이러한 stop and loss strategy는 아래와 같은 한계가 존재한다. 시간가치를 고려하지 않았으며, 매수, 매도 가격이 정확하게 행사가격 K와 동일하게 되기 어렵다. 또한, 실제로 구현되겡 좋은 hedge procedure이 아니다. 따라서 보다 효율적인 hedge 전략이 필요하고, 아래의 greek letters를 활용하여 구사하는 hedge 전략을 살펴보자. Delta Δ = Δ 𝑂 𝑝 𝑡 𝑖 𝑜 𝑛   𝑝 𝑟 𝑖 𝑐 𝑒 Δ 𝑆 𝑡 𝑜 𝑐 𝑘   𝑝 𝑟 𝑖 𝑐 𝑒 Δ= ΔStock price ΔOption price ​ : 주식가격 변화에 따른 옵션 가격의 변화. 즉, 주식가격에 대한 sensitivity measure, 포트폴리오에서의 beta와 비슷한 역할 : BSM 모형에서는 유럽식 옵션에 한하여 아래의 역할와 같이 산출 가능 Δ 𝑐 𝑎 𝑙 𝑙 = 𝑁 ( 𝑑 1 ) ,    Δ 𝑝 𝑢 𝑡 = 𝑁 ( 𝑑 1 ) − 1 Δ call ​ =N(d 1 ​ ),  Δ put ​ =N(d 1 ​ )−1 옵션의 moneyness와 Delta 간 관계 Deep ITM -> 주식과 옵션의 상관성이 1에 가까워지며, Delta는 1에 수렴 (풋옵션은 -1) Deep OTM -> 주식과 옵션의 상관성이 0에 가까워지며, Delta는 0에 수렴 즉, "Deep OTM -> Deep ITM"일수록 "Delta의 절대값은 0 -> 1" 만기와 Delta 간 관계 (ITM) 만기가 길기 떄문에 기초자산 가격 변화에 따른 콜옵션 가격 변화가 작아지기 때문에 Delta 감소 (ATM) close call이기에 언제든 ITM으로 갈수 있으므로 대체로 만기가 길수록 Delta 증가 (OTM) 만기가 길수록 ITM으로 옮겨갈 확률이 높아지므로 Delta 증가 Delta hedging 델타는 옵션과 동일한 riskless portfolio를 구축하는 데 핵심적인 역할을 수행하였다. 즉, option과 동일한 riskless 포트폴리오는 델타만큼의 주식을 보유함으로써 구성할 수 있었으며, 이러한 관계를 반대로 이해하면 옵션에 대한 hedge를 delta만큼의 주식을 활용하여 수행할 수 있다. 이러한 hedge를 Delta-hedging이라 한다. 다만, 주식가격 변화에 따라 델타가 지속적으로 변하므로 Delta-hedging은 dynamic이어야 한다. 한편, dynamic hedging은 지속적으로 현물을 매수매도하므로 비용이 발생하고, 가격이 높아질때 사고, 낮아질때 파므로 그에 따른 자본손실도 발생한다. 효율적 시장과 매순간 헷지가 이어진다면 이론적으로는 이러한 비용의 현재가치 총합은 BSM의 옵션가격과 동일하다(옵션을 replicate한 risk portfolio이므로). 다만, 현실에서는 헷지 주기 차이 등으로 일부 괴리가 존재한다. 𝐻 𝑒 𝑑 𝑔 𝑖 𝑛 𝑔    𝑃 𝑒 𝑟 𝑓 𝑜 𝑟 𝑚 𝑎 𝑛 𝑐 𝑒    𝑀 𝑒 𝑎 𝑠 𝑢 𝑟 𝑒 = 발생비용 변동성 𝑜 𝑝 𝑡 𝑖 𝑜 𝑛    𝑝 𝑟 𝑖 𝑐 𝑒    𝑎 𝑡    𝐵 𝑆 𝑀 Hedging  Performance  Measure= option  price  at  BSM 발생비용 변동성 ​ Portfolio Delta 포트폴리오 Delta는 옵션별 계약수에 비례하여 계산. 옵션별 만기, 행사가격과 상관없이 오로지 계약수* delta의 총합   Other Greeks Greeks은 옵션가격 결정 모형 주요 변수에 따라 옵션가격 변화를 살펴보는 것으로, 주가(Delta), 잔존만기(time = theta), 변동성(volatility = vega), 이자율(rate = rho) 변화가 대표적인 factors이다. 한편, 여기에 더하여 Delta 변화를 추가로 고려하는 Gamma(주가 변화에 따른 Delta 변화)가 존재한다. Gamma Γ = Δ ...

JohnC.Hull, (2022, chapter 17), Option, Futures, and other derivatives(11th global ed.) 내용 요약·정리 주가지수 옵션 hedging 나의 포트폴리오를 hedge하기 위해 option을 사용할 수 있다. 이때 필요한 옵션 계약수는 아래 공식에 의해 결정 Portfolio Value Times × index × 𝛽 Times×index Portfolio Value ​ ×β 한편, 옵션의 strike price는 만기 시점에 index 값에 따라 변화하는 포트폴리오의 value를 계산하고 protection leve에 대응되는 index level을 strike price로 설정 Ex1. Dividend가 없는 경우에는 port value 하락률에 대응하는 index level이 strike price index 1,000에서 포트폴리오 가치가 $500,000일 때, $450,000 아래로 포트폴리오 가치가 하락하지 않기 위해서는 450,000/500,000 -1 = -10% 하락에 대응하는 주가지수 900을 strike price로 설정 Ex2. Dividend가 있는 경우에는 index total return을 기반으로 CAPM을 활용하여 포트폴리오의 기대수익률을 계산하고, 이를 통해 주가지수별 포트폴리오 Value를 계산. 이후 protection level에 대응되는 주가지수가 strike price Index total return = Return + yield CAPM : Portfolio expected return = Rf + beta*(Index Total Return - Rf) Expected change in value of portfolio : (dividend 고려한 protection) CAPM 값, (divident 고려 X) CAPM - yield 아래 그림은 배당금을 고려하지 않은 protection level로 portfolio value를 계산하였으며, 만약 포트폴리오 가치를 $450,000에서 방어하고 싶다면, $450,000에 대응되는 960이 strike price (배당금이 대략 1%로 $5,000이므로 이를 포함하여 고려한다면, $445,000이 protection level - index 955 정도가 행사가격) 배당률 q 주식의 옵션 pricing 배당률 q를 지급하는 해당 배당률만큼 주식 가치의 할인을 받게 된다. 이를 다른 관점에서 생각해보면, 배당이 없지만 q만큼 할인된 주식가격을 갖는 주식과 동일하며, 이를 option pricing에서 활용할 수 있다. 즉, 기초자산의 옵션가격을 𝑆 0 𝑒 − 𝑞 𝑇 S 0 ​ e −qT 으로 설정하여 미분방정식과 옵션가격 공식을 도출. 이에 기반하여 옵션의 하한, 풋-콜 패리티, American option inequality, BSM 관련 방정식이 아래와 같이 대체 옵션 Properties 𝑐 ≥ max ⁡ ( 𝑆 0 𝑒 − 𝑞 𝑇 − 𝐾 𝑒 − 𝑟 𝑇 , 0 ) 𝑝 ≥ max ⁡ ( 𝐾 𝑒 − 𝑟 𝑇 − 𝑆 0 𝑒 − 𝑞 𝑇 , 0 ) 𝑐 + 𝐾 𝑒 − 𝑟 𝑇 = 𝑝 + 𝑆 0 𝑒 − 𝑞 𝑇 𝑆 0 𝑒 − 𝑞 𝑇 ′ − 𝐾 ≤ 𝐶 − 𝑃 ≤ 𝑆 0 − 𝐾 𝑒 − 𝑟 𝑇 ′ c≥max(S 0 ​ e −qT −Ke −rT ,0) p≥max(Ke −rT −S 0 ​ e −qT ,0) c+Ke −rT =p+S 0 ​ e −qT S 0 ​ e −qT ′ −K≤C−P≤S 0 ​ −Ke −rT ′ BSM 공식 𝑐 = 𝑆 0 𝑒 − 𝑞 𝑇 𝑁 ( 𝑑 1 ) − 𝐾 𝑒 − 𝑟 𝑇 𝑁 ( 𝑑 2 ) 𝑝 = 𝐾 𝑒 − 𝑟 𝑇 𝑁 ( − 𝑑 2 ) − 𝑆 0 𝑒 − 𝑞 𝑇 𝑁 ( − 𝑑 1 ) where   𝑑 1 = ln ⁡ ( 𝑆 0 / 𝐾 ) + ( 𝑟 − 𝑞 + 𝜎 2 / 2 ) 𝑇 𝜎 𝑇              𝑑 2 = ln ⁡ ( 𝑆 0 / 𝐾 ) + ( 𝑟 − 𝑞 − 𝜎 2 / 2 ) 𝑇 𝜎 𝑇 = 𝑑 1 − 𝜎 𝑇 ​ c=S 0 ​ e −qT N(d 1 ​ )−Ke −rT N(d 2 ​ ) p=Ke −rT N(−d 2 ​ )−S 0 ​ e −qT N(−d 1 ​ ) where  d 1 ​ = σ T ​ ln(S 0 ​ /K)+(r−q+σ 2 /2)T ​             d 2 ​ = σ T ​ ln(S 0 ​ /K)+(r−q−σ 2 /2)T ​ =d1−σ...

JohnC.Hull, (2022, chapter 15), Option, Futures, and other derivatives(11th global ed.) 내용 요약·정리 블랙-숄즈-머튼 모형 기초 개요 Black & Scholes는 CAPM을 활용하여 옵션에 대한 시장의 요구 수익률과 주식에 대한 요구 수익률 사이의 관계를 설정하였으며, Merton은 옵션과 기초 주식으로 구성된 무위험 포트폴리오을 통해 짧은 기간동안의 포트폴리오 수익률이 risk-free rate되어야 한다고 주장. BSM의 연구 업적이 집대성되어 BSM Option pricing model으로 발전 주가 프로세스  BSM에서는 stock price의 % 변화가 짧은 시간동안 normal distribution을 따른다고 가정한다. 이 경우 chapter 14의 Ito's Lemma를 적용함으로써 주가 S 자체의 process는 로그노말 프로세스를 따르는 것으로 도출된다. Δ 𝑆 𝑆 ∼ 𝜙 ( 𝜇 Δ 𝑡 , 𝜎 2 Δ 𝑡 ) 𝑊 ℎ 𝑒 𝑟 𝑒   𝑑 𝑆 = 𝜇 𝑆 𝑑 𝑡 + 𝜎 𝑆 𝑑 𝑧 S ΔS ​ ∼ϕ(μΔt,σ 2 Δt) Where dS=μSdt+σSdz By Ito's Lemma, Log S는 drift rate가 𝜇 − 𝜎 2 2 μ− 2 σ 2 ​ , variance rate가 𝜎 2 σ 2 인 Generalized Wiener process를 따르며, 𝑑 ( 𝑙 𝑜 𝑔 𝑆 ) = ( 𝜇 − 𝜎 2 2 ) 𝑑 𝑡 + 𝜎 𝑑 𝑧 d(logS)=(μ− 2 σ 2 ​ )dt+σdz 주가 S는 아래와 같은 log normal 분포를 가진다. ln ⁡ 𝑆 𝑇 − ln ⁡ 𝑆 0 ∼ 𝜙 ( ( 𝜇 − 𝜎 2 2 ) 𝑇 , 𝜎 2 𝑇 ) ln ⁡ 𝑆 𝑇 ∼ 𝜙 [ ln ⁡ 𝑆 0 + ( 𝜇 − 𝜎 2 2 ) 𝑇 , 𝜎 2 𝑇 ] lnS T ​ −lnS 0 ​ ∼ϕ((μ− 2 σ 2 ​ )T,σ 2 T) lnS T ​ ∼ϕ[lnS 0 ​ +(μ− 2 σ 2 ​ )T,σ 2 T] 로그 노말 특성에 따라 주가 S의 평균과 표준편차는 아래와 같이 구할 수 있다. 𝐸 ( 𝑆 ) = exp ⁡ ( ln ⁡ 𝑆 0 + ( 𝜇 − 𝜎 2 2 ) 𝑇 + 𝜎 2 𝑇 2 ) = 𝑆 0 ⋅ 𝑒 𝜇 𝑇 Var ( 𝑆 ) = ( 𝑒 𝜎 2 𝑇 − 1 ) 𝑒 2 ln ⁡ 𝑆 0 + 2 ( 𝜇 − 𝜎 2 2 ) 𝑇 + 𝜎 2 𝑇 = 𝑆 0 2 ⋅ ( 𝑒 𝜎 2 𝑇 − 1 ) ⋅ 𝑒 2 𝜇 𝑇 E(S)=exp(lnS 0 ​ +(μ− 2 σ 2 ​ )T+ 2 σ 2 T ​ )=S 0 ​ ⋅e μT Var(S)=(e σ 2 T −1)e 2lnS 0 ​ +2(μ− 2 σ 2 ​ )T+σ 2 T =S 0 2 ​ ⋅(e σ 2 T −1)⋅e 2μT 참고1. 로그 노말 분포의 특성( 𝐿 𝑜 𝑔   𝑋 ∼ 𝑁 ( 𝜇 , 𝜎 2 ) Log X∼N(μ,σ 2 ) 𝐸 ( 𝑋 ) = 𝑒 𝜇 + 𝜎 2 2 E(X)=e μ+ 2 σ 2 ​ Var ( 𝑋 ) = ( 𝑒 𝜎 2 − 1 ) 𝑒 2 𝜇 + 𝜎 2 Var(X)=(e σ 2 −1)e 2μ+σ 2   참고2. 실현 수익률의 분포(continuously compounded 기준) 실현 수익률 x에 대해 𝑆 𝑇 = 𝑆 0 𝑒 𝑥 𝑇 S T ​ =S 0 ​ e xT 𝑥 = 1 𝑇 𝑙 𝑛 ( 𝑆 𝑇 𝑆 0 ) x= T 1 ​ ln( S 0 ​ S T ​ ​ ) 주가의 분포가 로그노말 분포이므로 실현 수익률 x는 아래와 같은 Normal distribution을 갖는다. 𝑥 ∼ 𝜙 ( 𝜇 − 𝜎 2 2 , 𝜎 2 𝑇 ) x∼ϕ(μ− 2 σ 2 ​ , T σ 2 ​ ) (평균) 수익률의 평균이 u가 아닌 u보다 조금 작은 값. 통상 기간중 수익률을 계산할 때 기하평균을 사용해야하는 이유를 설명하기도 한다. 단순 산술평균은 기하평균보다 항상 크기 때문에 수익률을 과대평가할 수 있다. 따라서 뒤의 변동성 부분은 log 함수의 오목함, 산술평균과 기하평균의 보정으로 이해해야 한다. (변동성) 위의 식을 보면, T가 길어질수록 실현 수익률의 변동성이 작아지는 것을 알 수 있다. 이는 주가의 평균 수익률 관측시 1년보다 10년, 20년 장기적으로 바라볼 때 해당 수익률의 신뢰도가 높아지는(불확실성이 낮은) 것을 수식적으로 설명한다. 참고3. 변동성(Volatility) 변동성의 측정 방법은 역사적 변동성, 내재변동성으로 크게 나눌 수 있다. 역사적 변동성을 구할때는 표본 기간에 따라 이를 연율화 기준으로 변환하는 작업이 필요하다. 만약 1주(1/52)의 전일대비 수익률(u)로 표본 표준편차(s)를 구했다면, 이는 𝑙 𝑛 ( 𝑆 𝑇 𝑆 0 ) ln( S 0 ​ S T ​ ​ ) 변동성의 추정치이며, T(1/52)를 조정해줘야 한다. (52의 제곱근을 곱해줌) 𝑠 ^ = 𝜎 𝑇 ⇒ 𝜎 = 𝑠 ^ 𝑇 s ^ =σ T ​ ⇒σ= T ​ s ^ ​ 한편, 옵션은 기간에 따라 변동성이...

JohnC.Hull, (2022, chapter 14), Option, Futures, and other derivatives(11th global ed.) 내용 요약·정리 주요 개념 Markov Process 미래를 예측하는데 있어 현재의 가치만이 중요한 확률 가정을 의미. 즉, 과거의 기록은 예측에 무의미라는 뜻. 주가를 예로 들면, 미래 주가를 예측하는 데 있어 과거의 주가는 중요하지 않다. 𝑃 ( 𝑋 𝑛 + 1 = 𝑥 ∣ 𝑋 𝑛 , 𝑋 𝑛 − 1 , . . . , 𝑋 1 ) = 𝑃 ( 𝑋 𝑛 + 1 = 𝑥 ∣ 𝑋 𝑛 ) P(X n+1 ​ =x∣X n ​ ,X n−1 ​ ,...,X 1 ​ )=P(X n+1 ​ =x∣X n ​ ) 주식이 Markov property를 가진 process를 따른다면, 해당 시장에서는 약형 시장 효율가설(Weak Efficient-Market Hypothesis)이 성립하는 시장이다. 즉, 과거의 정보들(과거 주가 추이, 차트 등)로 미래의 초과 수익을 보장할 수 없다. Markov variation(다른 표현 또는 특성) Time-homogeneous Process : conditional probability이 시간에 종속되지 않고 모두 동일 𝑃 ( 𝑋 𝑛 + 1 ∣ 𝑋 𝑛 ) = 𝑃 ( 𝑋 𝑛 ∣ 𝑋 𝑛 − 1 )   𝑓 𝑜 𝑟   ∀ 𝑛 P(X n+1 ​ ∣X n ​ )=P(X n ​ ∣X n−1 ​ ) for ∀n cf. Semi-stong & Strong EMH Semi-strong EMH : 공개적 정보는 이미 주가에 반영, Fundamental Analysis는 초과수익을 얻을 수 없음 Strong EMH : 사적 정보까지 이미 주가에 반영되어 있음 Wiener Process 평균이 0이고 분산이 연간 1인 markov stochastic process로 아래의 특성을 지니며, 물리학에서는 Brownian Motion으로도 알려져 있음. Δ 𝑧 = 𝜖 Δ 𝑡 ,   𝜖 ∼ 𝜙 ( 0 , 1 ) Δz=ϵ Δt ​ , ϵ∼ϕ(0,1), 변동성(표준편차)가 시간 제곱근에 비례 공통기간이 없는 두 process는 서로 independent (Markov 특성) 이에 따라 시간에 따라 자유롭게 합치거나 나눌 수 있으며, 평균과 분산도 additive가 성립 1년간 주가 움직임의 확률분포가 N(0,1)일 때, 2년간 주가움직임의 확률분포는 두 결합분포의 합. 반면, 6개월간 주가 움직임의 확률분포는 두 개의 6개월 간 확률분포 합이 N(0, 1)이어야 하므로, N(0, 0.5)이다. 위너 프로세스 정의에 따라 Time T간의 변화는 N(0, T)의 정규분포를 따르게 되며, 𝑍 ( 𝑇 ) − 𝑍 ( 0 ) ∼ 𝜙 ( 0 , 𝑇 ) Z(T)−Z(0)∼ϕ(0,T) t>s인 두 위너 프로세스 간에는 s가 t에 종속되므로 addictive property + covariance가 s를 따르게 된다는 점을 고려시 아래와 같은 특징을 가지게 된다. 𝑍 ( 𝑡 ) − 𝑍 ( 𝑆 ) = 𝑍 ( 𝑡 − 𝑠 ) Var ( 𝑍 ( 𝑡 ) − 𝑍 ( 𝑠 ) ) ...

JohnC.Hull, (2022, chapter 13), Option, Futures, and other derivatives(11th global ed.) 내용 요약·정리 대전제 No arbitrage opportunities 주식과 옵션을 활용하여 riskless 복제 포트폴리오 구축 Riskless 포트폴리오의 수익률은 RIsk-free rate 옵션 가격은 포트폴리오 구축 비용 Binomial Tree Option Pricing & Riskless portfolio 현재 가격 𝑆 0 S 0 ​ , 옵션 가격 f, 상승시 주식가격 𝑆 0 𝑢 S 0 ​ u, 하락시 주식가격 𝑆 0 𝑑 S 0 ​ d, 파생상품 만기 T Riskless 포트폴리오 : Δ ΔLong shares 주식, Short 1 콜옵션 (상승시 payoff) 𝑆 0 𝑢 Δ − 𝑓 𝑢 S 0 ​ uΔ−f u ​ (하락시 payoff) 𝑆 0 𝑑 Δ − 𝑓 𝑑 S 0 ​ dΔ−f d ​ Riskless 포트폴리오이기 위해서는 미래 시점의 payoff가 동일 미래 시점의 payoff가 동일하기 위해서는 Delta가 아래 식을 만족해야함 Delta는 옵션 Greeks에서의 정의와 같이 "옵션 가격변화 / 주식 가격변화"로 이해 가능 Δ = 𝑓 𝑢 − 𝑓 𝑑 𝑆 0 𝑢 − 𝑆 0 𝑑 Δ= S 0 ​ u−S 0 ​ d f u ​ −f d ​ ​ RIskless 포트폴리오의 수익률 = Risk-free rate이므로 현재 포트폴리오 가치 = PV (미래 가치) 𝑆 0 Δ − 𝑓 = ( 𝑆 0 𝑢 Δ − 𝑓 𝑢 ) 𝑒 − 𝑟 𝑇 𝑂 𝑝 𝑡 𝑖 𝑜 𝑛   𝑝 𝑟 𝑖 𝑐 𝑒 = 𝑓 = 𝑆 0 Δ − ( 𝑆 0 𝑢 Δ − 𝑓 𝑢 ) 𝑒 − 𝑟 𝑇 S 0 ​ Δ−f=(S 0 ​ uΔ−f u ​ )e −rT Option price=f=S 0 ​ Δ−(S 0 ​ uΔ−f u ​ )e −rT 2번과 3번을 결합하여, 식을 정리하면 𝑓 = [ 𝑝 𝑓 𝑢 + ( 1 − 𝑝 ) 𝑓 𝑑 ] 𝑒 − 𝑟 𝑇 𝑤 ℎ 𝑒 𝑟 𝑒    𝑝 = 𝑒 𝑟 𝑇 − 𝑑 𝑢 − 𝑑   :   𝑅 𝑖 𝑠 𝑘 − 𝑛 𝑒 𝑢 𝑡 𝑟 𝑎 𝑙   𝑝 𝑟 𝑜 𝑏 𝑎 𝑏 𝑖 𝑙 𝑖 𝑡 𝑦 f=[pf u ​ +(1−p)f d ​ ]e −rT where  p= u−d e rT −d ​  : Risk−neutral probability 요약하면, 옵션 가격은 risk-neutral probabilry를 활용한 평균 미래 가격의 현재가치. 또한 해당 식에서 얻을 수 있는 insight는 옵션 가격은 기초자산인 주식 ...