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켈리 기준에 따른 베팅 비율
말랑문어왕초보 투자공부

켈리 기준에 따른 베팅 비율

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말랑문어
2025.09.11조회수 58회
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말랑문어
구독자 9명구독중 1명
나중에 수정되쥬?

켈리 기준 공식

홍진채님의 <거인의 어깨 2>에는 다음과 같은 켈리 기준 베팅 비율 공식이 소개된다.

f∗=pa−qbf^*=\frac{p}{a}-\frac{q}{b}f∗=ap​−bq​

여기서

  • p: 승리 확률

  • q=1-p: 패배 확률

  • a: 패배 시 손실률 (베팅액 대비, 예: 100% 잃으면 a=1)

  • b: 승리 시 이익률 (베팅액 대비, 예: 50% 얻으면 b=0.5)

즉, 이 공식은 동일한 게임을 반복했을 때 장기적으로 자산을 가장 크게 불려주는 베팅 비율을 알려준다.

  • 너무 공격적으로 베팅하면 몇 번의 연속 손실로 자산이 크게 줄거나 파산할 수 있다.

  • 너무 보수적으로 베팅하면 자산은 불어나긴 하지만 성장 속도가 매우 느리다.

  • 켈리 공식은 그 중간에서 복리 성장률(=기하 평균 성장률)을 최대화하는 최적점을 찾아준다.


켈리 기준 공식의 도출 과정

1. 자산은 곱셈으로 성장한다

한 게임 후 자산은 이전 자산에 (1+수익률)을 곱한 값이다.

  • 첫번째 게임:

W1=W0(1+r1)W_1=W_0(1+r_1)W1​=W0​(1+r1​)
  • 두번째 게임:

W2=W1(1+r2)=W0(1+r1)(1+r2)W_2=W_1(1+r_2)=W_0(1+r_1)(1+r_2)W2​=W1​(1+r2​)=W0​(1+r1​)(1+r2​)
  • n번째 게임:

Wn=W0∏i=1n(1+ri)W_n=W_0\prod_{i=1}^n(1+r_i)Wn​=W0​i=1∏n​(1+ri​)

2. 곱셈 → 로그로 덧셈화

곱셈을 다루기 위해 로그를 취한다.

ln⁡Wn=ln⁡W0+∑i=1nln⁡(1+ri)\ln W_n=\ln W_0+\sum_{i=1}^n\ln(1+r_i)lnWn​=lnW0​+i=1∑n​ln(1+ri​)

👉 여기서 쓰인 로그의 성질:

ln⁡(xy)=ln⁡x+ln⁡y\ln(xy)=\ln x+\ln yln(xy)=lnx+lny

3. 복리 성장률은 로그 평균으로 나타난다

자산의 복리 성장 배수는

(WnW0)1n\left(\frac{W_n}{W_0}\right)^\frac{1}{n}(W0​Wn​​)n1​

이고, 여기에 로그를 취하면

ln⁡((WnW0)1n)=1nln⁡(WnW0)=1n(ln⁡Wn−ln⁡W0)=1n(ln⁡W0+∑i=1nln⁡(1+ri)−ln⁡W0)=1n∑i=1nln⁡(1+ri)\begin{align} \ln\left(\left(\frac{W_n}{W_0}\right)^\frac{1}{n}\right) & = \frac{1}{n}\ln\left(\frac{W_n}{W_0}\right) \\ & = \frac{1}{n}(\ln W_n-\ln W_0) \\ & = \frac{1}{n}(\ln W_0+\sum_{i=1}^n\ln(1+r_i)-\ln W_0) \\ & = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\ln(1+r_i) \end{align}ln((W0​Wn​​)n1​)​=n1​ln(W0​Wn​​)=n1​(lnWn​−lnW0​)=n1​(lnW0​+i=1∑n​ln(1+ri​)−lnW0​)=n1​i=1∑n​ln(1+ri​)​​

👉 여기서 쓰인 로그의 성질:

ln⁡(x/y)=ln⁡x−ln⁡y\ln(x/y)=\ln x-\ln yln(x/y)=lnx−lny
ln⁡(xk)=k⋅ln⁡x\ln(x^k)=k\cdot\ln xln(xk)=k⋅lnx

즉, 장기적인 복리 성장은 로그의 평균값으로 표현된다.


4. 확률 모형으로 일반화

베팅 비율을 f라고 할 때, 각 게임의 수익률은 확률적으로

ri={+bf,확률p−af,확률qr_i= \left\{ \begin{align} & +bf, \quad 확률 p \\ & -af, \quad 확률 q \end{align} \right.ri​={​+bf,확률p−af,확률q​​

따라서 로그 성장률은

ln⁡(1+ri)={ln⁡(1+bf),확률pln⁡(1−af),확률q\ln(1+r_i)= \left\{ \begin{align} & \ln(1+bf), \quad 확률 p \\ & \ln(1-af), \quad 확률 q \end{align} \right.ln(1+ri​)={​ln(1+bf),확률pln(1−af),확률q​​

기대 로그 성장률은

G(f)=E[ln⁡(1+ri)]=p⋅ln⁡(1+bf)+q⋅ln⁡(1−af)G(f)=\mathbb{E}[\ln(1+r_i)]=p\cdot \ln(1+bf)+q\cdot \ln(1-af)G(f)=E[ln(1+ri​)]=p⋅ln(1+bf)+q⋅ln(1−af)

5. 최적화: 미분 활용

최적 f*를 찾기 위해 G(f)를 미분한다.

G′(f)=p⋅11+bf⋅b+q⋅11−af⋅(−a)=pb1+bf−qa1−af\begin{align} G'(f)&=p\cdot\frac{1}{1+bf}\cdot b+q\cdot\frac{1}{1-af}\cdot (-a) \\ &=\frac{pb}{1+bf}-\frac{qa}{1-af} \end{align}G′(f)​=p⋅1+bf1​⋅b+q⋅1−af1​⋅(−a)=1+bfpb​−1−afqa​​​

👉 여기서 쓰인 로그 미분 공식:

ddxln⁡(u(x))=1u(x)⋅u′(x)\frac{d}{dx}\ln(u(x))=\frac{1}{u(x)}\cdot u'(x)dxd​ln(u(x))=u(x)1​⋅u′(x)

극대 조건 G'(f)=0을 풀면,

pb1+bf=qa1−af\frac{pb}{1+bf}=\frac{qa}{1-af}1+bfpb​=1−afqa​
pb(1−af)=qa(1+bf)pb(1-af)=qa(1+bf)pb(1−af)=qa(1+bf)
pb−pbaf=qa+qabfpb-pbaf=qa+qabfpb−pbaf=qa+qabf
pb−qa=abf(p+q)pb-qa=abf(p+q)pb−qa=abf(p+q)

그리고 p+q=1이므로,

f=pb−qaab=pbab−qaab=pa−qb\begin{align} f&=\frac{pb-qa}{ab} \\ &=\frac{pb}{ab}-\frac{qa}{ab} \\ &=\frac{p}{a}-\frac{q}{b} \end{align}f​=abpb−qa​=abpb​−abqa​=ap​−bq​​​

6. 해석

  • pb: 승리 확률 × 이익률 → 기대이익

  • qa: 패배 확률 × 손실률 → 기대손실

  • 둘의 차이를 ab로 나눈 값이 장기...

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댓글 2개
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Dirtycat
2025.09.11

캘리공식이 이렇게 유도되는 거였군요 자세하게 설명해주셔서 감사합니다. 거인의 어깨 책 사놓고 바쁘다는 핑계로 아직 읽어보지 않았는데 얼른 봐야겠네요

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말랑문어
작성자
2025.09.11

거인의 어깨는 2번, 3번 읽으면 읽을 수록 감탄하게 되는 것 같아요. ㅎㅎ

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