확률과 통계 기초: 기댓값, 분산, 표준편차

켈리 기준 공식 홍진채님의 <거인의 어깨 2>에는 다음과 같은 켈리 기준 베팅 비율 공식이 소개된다. 여기서 p: 승리 확률 q=1-p: 패배 확률 a: 패배 시 손실률 (베팅액 대비, 예: 100% 잃으면 a=1) b: 승리 시 이익률 (베팅액 대비, 예: 50% 얻으면 b=0.5) 즉, 이 공식은 동일한 게임을 반복했을 때 장기적으로 자산을 가장 크게 불려주는 베팅 비율을 알려준다. 너무 공격적으로 베팅하면 몇 번의 연속 손실로 자산이 크게 줄거나 파산할 수 있다. 너무 보수적으로 베팅하면 자산은 불어나긴 하지만 성장 속도가 매우 느리다. 켈리 공식은 그 중간에서 복리 성장률(=기하 평균 성장률)을 최대화하는 최적점을 찾아준다. 켈리 기준 공식의 도출 과정 1. 자산은 곱셈으로 성장한다 한 게임 후 자산은 이전 자산에 (1+수익률)을 곱한 값이다. 첫번째 게임: 두번째 게임: n번째 게임: 2. 곱셈 → 로그로 덧셈화 곱셈을 다루기 위해 로그를 취한다. 👉 여기서 쓰인 로그의 성질: 3. 복리 성장률은 로그 평균으로 나타난다 자산의 복리 성장 배수는 이고, 여기에 로그를 취하면 👉 여기서 쓰인 로그의 성질: 즉, 장기적인 복리 성장은 로그의 평균값으로 표현된다. 4. 확률 모형으로 일반화 베팅 비율을 f라고 할 때, 각 게임의 수익률은 확률적으로 따라서 로그 성장률은 기대 로그 성장률은 5. 최적화: 미분 활용 최적 f*를 찾기 위해 G(f)를 미분한다. 👉 여기서 쓰인 로그 미분 공식: 극대 조건 G'(f)=0을 풀면, 그리고 p+q=1이므로, 6. 해석 pb: 승리 확률 × 이익률...

1. 홍진채님의 설명 얼마의 기간 동안 얼마의 성장을 가정하든, 시간이 지나고 예측이 정확히 맞아떨어지고 나면 프리미엄은 감소합니다. 3년간 연평균 20%를 가정하든, 20년간 100배 성장을 가정하든 마찬가지입니다. 좀 더 쉽게 이야기해볼까요? 5년 치 미래를 전망했잖아요? 1년이 지났습니다. 그럼 남은 전망치는 몇 년 치인가요? 4년 치죠. 고속 성장 기간이 줄어들었으니 프리미엄도 줄어들었습니다. 1년 차의 성장은 이미 분모가 커진 걸로 반영됐잖아요. - 거인의 어깨 2, 홍진채, p.302 홍진채님은 PER의 프리미엄은 시간이 흐르면서 자연스럽게 소진된다는 점을 강조한다. 2. 수식으로 표현되는 논리 가치는 할인율만큼 증가한다에서 살펴봤듯이, 가치는 매년 할인율 r만큼 증가한다고 가정한다. 또한 이익은 성장률 g만큼 늘어난다고 하면, r: 할인율 g: 이익 성장률 → 성장률이 할인율보다 크다면, 시간이 지날수록 PER을 줄어든다. → 이것이 "프리미엄 소진"의 직관적 설명이다. ...

가치와 할인률 가치는 회사가 평생 벌 돈을 현재가로 할인한 값입니다. 얼마만큼의 성장을 예상하든, 그 성장이 맞아떨어지면 그 가치는 할인율만큼 증가합니다. 성장률만큼이 아니라요. - 거인의 어깨2, 홍진채, p.299 이 말이 던지는 질문 처음 읽으면 고개를 갸웃하게 된다. "성장이 반영돼 있다"는 건 당연한데, 왜 가치는 할인율만큼만 증가한다고 할까? "기업은 성장하는데, 가치는 왜 성장률만큼 늘지 않을까?" 이 질문을 곱씹으면, 기업가치 평가의 본질에 닿게 된다. 직관적 이해: 쿠폰북(채권) 비유 어떤 쿠폰북은 1년 뒤 100, 2년 뒤 200, 3년 ...

기업의 재무제표로부터 우리가 읽어내야 하는 건 경영진이 진실한 태도로 사업을 진행하고 있는지, 의심스러운 사안이 없는지, 있다면 그 의문을 해소하기 위해서 얼마나 고생해야 할지 등입니다. 매크로나 산업의 경쟁 구도로부터 우리가 판단해야 할 것은 주식에 투자를 할 것이냐 말것이냐가 아니라 우리가 분석하려는 이 기업이 혹독한 외부 환경에 잘 대응하는 훌륭한 기업인가 아닌가 하는 것입니다. — 홍진채, 거인의 어깨 2, p.296 이 구절을 읽다가, 이상하게 오래전 어느 책에서 본 이야기가 떠올랐다. 주식회사의 기원이 네덜란드의 상선 투자에서 시작되었다는 이야기. 그때 투자자들은 배 한 척의 생사와 성공 여부에 돈을 걸었다. 폭풍을 만날지, 해적을 만날지, 무사히 돌아올지는 아무도 알 수 없었다. 지금 우리가 매크로를 맞추려는 시도도 어쩌면 그때와 크게 다르지 않은 것 같다. 금리, 환율, 전쟁, 정책… 결국은 폭풍을 예측하려는 것 아닐까. 하지만 투자자는 날씨를 맞추는 사람이 아니라, 폭풍에도 버틸 수 있는 배와 선장을 고르는 사람이어야 한다. 강세장과 약세장에 대해서도 비슷한 생각이 든다. “강세장이니까 주가가 오른다”는 말은 사실 거꾸로다. 많은 개별 종목이 오르기 때문에 결과적으로 강세장이 되는 것이고, 약세장도 마찬가지다. 물론 내러티브가 피드백을 만들긴 하지만, 본질은 바뀌지 않는다. 강세장·약세장을 예측하는 시도 역시 결국은 매크로를 맞추려는 시도일 뿐이다. 그러니 내가 던져야 할 질문은 이런 것이 아닐까. “폭풍이 올까?”가 아니라, “폭풍이 와도 이 배(기업)는 살아남을까?”

어느 날 여러분이 복권에 당첨되었다고 해봐요. 여러분은 당첨금 1억원을 오늘 받으시겠어요, 아니면 1년 후에 받으시겠어요? 대부분의 사람들은 오늘 받겠다고 할텐데요. 왜 그럴까요? 오늘 1억원이 1년 후 1억원보다 더 가치 있는 이유 (1) 기회비용(Opportunity Cost) 1억원을 오늘 받으면 그 돈을 즉시 사용할 수 있어요. 평소 사고 싶었던 물건을 사거나, 투자를 통해 돈을 불릴 수 있죠. 아니면 은행 예금에 넣어둬도 최소한의 이자는 받을 수 있습니다. 반면, 1억원을 1년 후에 받는다면 그 돈을 지금 사용하거나 투자할 기회를 잃어버리게 됩니다. 이것을 ‘기회비용’이라고 해요. 기회비용이란 어떤 선택을 함으로써 포기한 다른 대안 중 가장 큰 가치를 의미합니다. (2) 위험(Risk) 1억원을 1년 후에 받기로 한 경우, 그 1년 사이에 예상치 못한 일이 생길 가능성이 있습니다. 예를 들어, 복권 용지를 잃어버리거나 복권 회사가 부도날 수 있죠. 더 나아가 전쟁이 터지거나 경제 위기가 발생해 화폐 가치가 떨어질 수도 있습니다. 이런 식으로 미래에 받을 돈에는 불확실성과 손실 가능성이 존재하는데, 이를 ‘위험’이라고 합니다. 결국, 미래의 돈은 기회비용과 위험 때문에 현재의 돈보다 가치가 낮게 평가됩니다. 따라서 같은 금액이라도 오늘의 1억원이 1년 후의 1억원보다 더 가치가 있는 것이죠. 현재가치와 할인율 미래의 돈이...