앞면이 나오면 100원을 얻고 뒷면이 나오면 100원을 잃는 동전 던지기 게임이 있다고 하자. 동전 던지기를 n번 반복하면, 결과의 흔들림 폭(표준편차) 는 100√n에 비례해 커진다. 즉, 시행이 많아질수록 누적 손익의 분포는 점점 넓게 퍼진다. 어떤 사람은 큰 이익을, 어떤 사람은 큰 손실을 볼 수 있게 된다는 뜻이다. (합의 기댓값, 분산, 표준편차 개념은 링크 참조) 많은 사람들이 "큰 수의 법칙"을 이렇게 이해한다. 동전을 많이 던질수록 결국 본전 근처로 돌아온다. 길게 보면 결국 확률은 50%니까 언젠가 균형 잡힌다. 하지만 이것은 대표적인 확률적 착각이다. 갈톤 보드를 떠올려 보자. 갈톤 보드에서 구슬은 매 층마다 왼쪽이나 오른쪽으로 무작위로 튕겨 내려간다. 이때 층의 개수는 시행횟수 n에 해당한다. 층이 많아질수록 구슬이 도달할 수 있는 위치(분포)는 더 넓어진다. 그러나 왼쪽 끝에서 떨어진 구슬이 중앙 쪽으로 돌아오는 일은 없다. 구슬 하나하나는 오직 자신만의 경로를 따라 내려갈 뿐이다. 중요한 사실은 이것이다. 층이 많아져도, 즉 시행횟수가 증가해도 "개별 구슬"은 중앙으로 수렴하지 않는다. 다만 구슬 전체를 모아보면 평균 위치가 중앙으로 몰릴 뿐이다. 이것이 '큰 수의 법칙'의 진짜 의미다. 큰 수의 법칙은 '개인'이 아니라 '집단 평균'에 대한 법칙이다. 개별 경로는 여전히 요동치며 멀리 벗어날 수 있다. 그러나 표본평균은 기댓값으로 수렴한다. 이제 수식으로 정리해보자. 1️⃣ 표본평균의 수렴 갈톤 보드의 비유는 중요한 힌트를 준다. 개별 경로는 흩어지지만 평균은 질서를 향해 모인다. 이제 이 현상을 동전 던지기 게임으로 다시 확인해보자. 동전 던지기의 한 번 결과를 확률변수 Xi라고 정의하면, 이 게임을 n번 반복했을 때의 평균 손익, 즉 표본평균은 다음과 같다. 이 값은 시행이 많아질수록 기댓값 E[X]=0에 가까워진다. 이것이 큰 수의 법칙의 핵심 ...

앞면이 나오면 100원을 얻고 뒷면이 나오면 100원을 잃는 동전 던지기 게임이 있다고 하자. 동전을 한 번 던졌을 때의 기댓값은 0원이고, 분산은 10,000, 표준편차는 100원이다. (기댓값, 분산, 표준편차의 기초 개념은 링크 참조) 즉, 이 게임은 평균 수익은 0원이지만, 한 번 던질 때 ±100원 정도의 변동성을 가진다고 해석할 수 있다. 그렇다면 이 동전 던지기 게임을 여러 번 반복한다면, 이 게임에 참가하는 사람들은 평균적으로 얼마를 벌거나 잃을까? 기댓값이 0원이므로 결국 아무도 못 벌게 될까? 시뮬레이션 결과를 수학적으로 풀어보자. 합의 기댓값 동전 던지기를 여러 번 한다고 했을 때 최종 손익은 확률변수 X의 값들을 모두 더한 값이다. 동전 던지기를 n번 했을 때 확률변수 X의 ...

앞면이 나오면 100원을 얻고 뒷면이 나오면 100원을 잃는 동전 던지기 게임이 있다고 하자. 기댓값(Expected Value) 확률변수 X는 사건을 숫자로 바꾸는 함수다. 이 게임에서 확률변수 X를 다음과 같이 정의한다. 앞면과 뒷면이 나올 확률은 똑같이 50%다. 따라서 확률변수 $X$의 분포는 다음과 같다. 이제 기댓값을 계산해보자. 기댓값은 "가능한 값 x 그 값이 나올 확률"을 모두 더한 것이다. 분산(Variance) 확률변수 X의 분산은, X의 값들이 평균(기댓값) 주변에 얼마나 퍼져 있는지를 나타내는 척도다. 분산의 공식은 다음과 같다. 이는 "평균으로부터 거리를 잴 때, 방향(부호)을 없애고, 멀리 벗어난 값에는 더 큰 가중치를 주기 위해 제곱을 취한 것"으로 이해할 수 있다. 전개하면, 사용된 규칙 기댓값의 선형성: $E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]$ 상수 취급: $E[c]=c, \quad E[cX]=cE[X]$ E[X]는 확률변수가 아니라 수치이므로, 기댓값 연산 안에서는 상수처럼 다룬다. 따라서 분산은 "확률변수 제곱의 기댓값에서 기댓값의 제곱을 뺀 값"이 된다. 동전 던지기 게임의 분산은 다음과 같다. 표준편차(Standard Deviation) 그런데 분산 10,000이라는 값은 단위가 제곱($원^2$)이기 때문에 직관적으로 해석하기 어렵다. 이때 분산의 제곱근을 취하면 원래 단위(원)으로 돌아오는데, 이것을 표준편차라고 한다. 모집단 분포를 기준으로 하는 표준편차는 보통 그리스 문자 시그마 σ로 표기한다. 동전 던지기 게임에서는 즉, 이 게임은 평균 수익은 0원이지만, 한 번 던질 때 ±100원 정도의 변동성을 가진다고 해석할 수 있다.

켈리 기준 공식 홍진채님의 <거인의 어깨 2>에는 다음과 같은 켈리 기준 베팅 비율 공식이 소개된다. 여기서 p: 승리 확률 q=1-p: 패배 확률 a: 패배 시 손실률 (베팅액 대비, 예: 100% 잃으면 a=1) b: 승리 시 이익률 (베팅액 대비, 예: 50% 얻으면 b=0.5) 즉, 이 공식은 동일한 게임을 반복했을 때 장기적으로 자산을 가장 크게 불려주는 베팅 비율을 알려준다. 너무 공격적으로 베팅하면 몇 번의 연속 손실로 자산이 크게 줄거나 파산할 수 있다. 너무 보수적으로 베팅하면 자산은 불어나긴 하지만 성장 속도가 매우 느리다. 켈리 공식은 그 중간에서 복리 성장률(=기하 평균 성장률)을 최대화하는 최적점을 찾아준다. 켈리 기준 공식의 도출 과정 1. 자산은 곱셈으로 성장한다 한 게임 후 자산은 이전 자산에 (1+수익률)을 곱한 값이다. 첫번째 게임: 두번째 게임: n번째 게임: 2. 곱셈 → 로그로 덧셈화 곱셈을 다루기 위해 로그를 취한다. 👉 여기서 쓰인 로그의 성질: 3. 복리 성장률은 로그 평균으로 나타난다 자산의 복리 성장 배수는 이고, 여기에 로그를 취하면 👉 여기서 쓰인 로그의 성질: 즉, 장기적인 복리 성장은 로그의 평균값으로 표현된다. 4. 확률 모형으로 일반화 베팅 비율을 f라고 할 때, 각 게임의 수익률은 확률적으로 따라서 로그 성장률은 기대 로그 성장률은 5. 최적화: 미분 활용 최적 f*를 찾기 위해 G(f)를 미분한다. 👉 여기서 쓰인 로그 미분 공식: 극대 조건 G'(f)=0을 풀면, 그리고 p+q=1이므로, 6. 해석 pb: 승리 확률 × 이익률...

1. 홍진채님의 설명 얼마의 기간 동안 얼마의 성장을 가정하든, 시간이 지나고 예측이 정확히 맞아떨어지고 나면 프리미엄은 감소합니다. 3년간 연평균 20%를 가정하든, 20년간 100배 성장을 가정하든 마찬가지입니다. 좀 더 쉽게 이야기해볼까요? 5년 치 미래를 전망했잖아요? 1년이 지났습니다. 그럼 남은 전망치는 몇 년 치인가요? 4년 치죠. 고속 성장 기간이 줄어들었으니 프리미엄도 줄어들었습니다. 1년 차의 성장은 이미 분모가 커진 걸로 반영됐잖아요. - 거인의 어깨 2, 홍진채, p.302 홍진채님은 PER의 프리미엄은 시간이 흐르면서 자연스럽게 소진된다는 점을 강조한다. 2. 수식으로 표현되는 논리 가치는 할인율만큼 증가한다에서 살펴봤듯이, 가치는 매년 할인율 r만큼 증가한다고 가정한다. 또한 이익은 성장률 g만큼 늘어난다고 하면, r: 할인율 g: 이익 성장률 → 성장률이 할인율보다 크다면, 시간이 지날수록 PER을 줄어든다. → 이것이 "프리미엄 소진"의 직관적 설명이다. ...