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확률과 통계 기초: 합의 기댓값, 분산, 표준편차

말랑문어 왕초보 투자공부

확률과 통계 기초: 합의 기댓값, 분산, 표준편차

말랑문어

2025.09.30조회수 37회

앞면이 나오면 100원을 얻고 뒷면이 나오면 100원을 잃는 동전 던지기 게임이 있다고 하자.

동전을 한 번 던졌을 때의 기댓값은 0원이고, 분산은 10,000, 표준편차는 100원이다. (기댓값, 분산, 표준편차의 기초 개념은 링크 참조) 즉, 이 게임은 평균 수익은 0원이지만, 한 번 던질 때 ±100원 정도의 변동성을 가진다고 해석할 수 있다.

그렇다면 이 동전 던지기 게임을 여러 번 반복한다면, 이 게임에 참가하는 사람들은 평균적으로 얼마를 벌거나 잃을까? 기댓값이 0원이므로 결국 아무도 못 벌게 될까? 시뮬레이션 결과를 수학적으로 풀어보자.

합의 기댓값

동전 던지기를 여러 번 한다고 했을 때 최종 손익은 확률변수 X의 값들을 모두 더한 값이다. 동전 던지기를 n번 했을 때 확률변수 X의 합은 ...

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앞면이 나오면 100원을 얻고 뒷면이 나오면 100원을 잃는 동전 던지기 게임이 있다고 하자. 기댓값(Expected Value) 확률변수 X는 사건을 숫자로 바꾸는 함수다. 이 게임에서 확률변수 X를 다음과 같이 정의한다. 앞면과 뒷면이 나올 확률은 똑같이 50%다. 따라서 확률변수 $X$의 분포는 다음과 같다. 이제 기댓값을 계산해보자. 기댓값은 "가능한 값 x 그 값이 나올 확률"을 모두 더한 것이다. 분산(Variance) 확률변수 X의 분산은, X의 값들이 평균(기댓값) 주변에 얼마나 퍼져 있는지를 나타내는 척도다. 분산의 공식은 다음과 같다. 이는 "평균으로부터 거리를 잴 때, 방향(부호)을 없애고, 멀리 벗어난 값에는 더 큰 가중치를 주기 위해 제곱을 취한 것"으로 이해할 수 있다. 전개하면, 사용된 규칙 기댓값의 선형성: $E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]$ 상수 취급: $E[c]=c, \quad E[cX]=cE[X]$ E[X]는 확률변수가 아니라 수치이므로, 기댓값 연산 안에서는 상수처럼 다룬다. 따라서 분산은 "확률변수 제곱의 기댓값에서 기댓값의 제곱을 뺀 값"이 된다. 동전 던지기 게임의 분산은 다음과 같다. 표준편차(Standard Deviation) 그런데 분산 10,000이라는 값은 단위가 제곱($원^2$)이기 때문에 직관적으로 해석하기 어렵다. 이때 분산의 제곱근을 취하면 원래 단위(원)으로 돌아오는데, 이것을 표준편차라고 한다. 모집단 분포를 기준으로 하는 표준편차는 보통 그리스 문자 시그마 σ로 표기한다. 동전 던지기 게임에서는 즉, 이 게임은 평균 수익은 0원이지만, 한 번 던질 때 ±100원 정도의 변동성을 가진다고 해석할 수 있다.

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켈리 기준 공식 홍진채님의 <거인의 어깨 2>에는 다음과 같은 켈리 기준 베팅 비율 공식이 소개된다. 여기서 p: 승리 확률 q=1-p: 패배 확률 a: 패배 시 손실률 (베팅액 대비, 예: 100% 잃으면 a=1) b: 승리 시 이익률 (베팅액 대비, 예: 50% 얻으면 b=0.5) 즉, 이 공식은 동일한 게임을 반복했을 때 장기적으로 자산을 가장 크게 불려주는 베팅 비율을 알려준다. 너무 공격적으로 베팅하면 몇 번의 연속 손실로 자산이 크게 줄거나 파산할 수 있다. 너무 보수적으로 베팅하면 자산은 불어나긴 하지만 성장 속도가 매우 느리다. 켈리 공식은 그 중간에서 복리 성장률(=기하 평균 성장률)을 최대화하는 최적점을 찾아준다. 켈리 기준 공식의 도출 과정 1. 자산은 곱셈으로 성장한다 한 게임 후 자산은 이전 자산에 (1+수익률)을 곱한 값이다. 첫번째 게임: 두번째 게임: n번째 게임: 2. 곱셈 → 로그로 덧셈화 곱셈을 다루기 위해 로그를 취한다. 👉 여기서 쓰인 로그의 성질: 3. 복리 성장률은 로그 평균으로 나타난다 자산의 복리 성장 배수는 이고, 여기에 로그를 취하면 👉 여기서 쓰인 로그의 성질: 즉, 장기적인 복리 성장은 로그의 평균값으로 표현된다. 4. 확률 모형으로 일반화 베팅 비율을 f라고 할 때, 각 게임의 수익률은 확률적으로 따라서 로그 성장률은 기대 로그 성장률은 5. 최적화: 미분 활용 최적 f*를 찾기 위해 G(f)를 미분한다. 👉 여기서 쓰인 로그 미분 공식: 극대 조건 G'(f)=0을 풀면, 그리고 p+q=1이므로, 6. 해석 pb: 승리 확률 × 이익률...

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