당신은 평균이 아니라, 시간 속의 단 하나의 경로입니다
투자에서 에르고드성(Ergodicity)은 산술적인 '평균'과 개인이 실제로 겪는 '결과' 사이의 치명적인 차이를 설명하는 핵심 개념입니다. 많은 투자자가 '기대 수익률'이라는 함정에 빠져 파산하는 이유는 본인의 투자가 에르고드적이라고 착각하기 때문입니다.
"평균적인 투자자는 돈을 벌었습니다. 하지만 그 '평균적인 투자자'라는 존재는 세상에 없습니다. 평균이란 실재하지 않습니다. 오직 당신, 당신의 포트폴리오, 당신의 결정, 그리고 시간이라는 선 위에 놓인 당신만의 단 하나의 경로가 있을 뿐입니다. 금융학은 이 사실을 잊었지만, 에르고드성은 이를 기억하고 있습니다.
저는 올레 피터스의 연구, 나심 탈레브의 저작, 그리고 루카 델라나의 책을 통해 에르고드성을 접하게 되었습니다. 이를 공부하면 할수록, 이것이 우리가 투자하고 리스크를 관리하며, 생존과 장기적인 복리 효과를 바라보는 방식에 얼마나 심오한 영향을 미치는지 깨달았습니다. 이 글은 그 아이디어를 구체화해보려는 저의 시도입니다."
에르고드성에 관해 우리가 다루고자 하는 핵심 질문들:
에르고드성이란 무엇인가? 왜 중요한가?
앙상블 평균이란 무엇이며, 시간 평균과 어떻게 다른가?
실생활에서 나타나는 에르고드성 혹은 비에르고드성의 사례는?
투자는 에르고드적인가, 비에르고드적인가?
에르고드성이 투자자에게 주는 시사점은 무엇인가?
제1막: 진단 (대부분의 시스템은 비에르고드적이며, 금융학은 그렇지 않은 척한다)
시스템이 에르고드적이라는 것은 수많은 사람의 평균 결과가 한 사람이 시간의 흐름에 따라 겪는 평균 결과와 같을 때를 의미합니다. 이 두 수치가 서로 어긋나기 시작할 때, 그 시스템은 비에르고드적입니다. 왜냐하면 당신은 집단 그 자체가 아니기 때문입니다.
100명이 각각 한 번씩 러시안 룰렛을 한다고 가정해 봅시다. 권총에는 6개의 약실과 1발의 총알이 들어있으며, 실린더를 돌린 후 방아쇠를 당깁니다. 생존자에게는 막대한 상금이 주어집니다. 집단의 평균 생존율은 약 83%로, 겉보기에는 꽤 괜찮아 보입니다. 이것이 바로 앙상블 평균입니다. 기대값은 0.833입니다. 고전 경제학자라면 기대값이 양수(+)이므로 이 게임에 참여하는 것이 합리적이라고 말할 것입니다. 상금이 100만 달러든, 1,000만 달러든, 혹은 1억 달러든 그 액수가 중요할까요? 당신은 여전히 이 게임을 하시겠습니까?
이제 한 사람이 100회 동안 연속해서 러시안 룰렛을 하는 상황을 가정해 봅시다. 이 경우 그 사람은 거의 확실하게(약 99.999999%) 사망합니다. 첫 번째 라운드에서 사망 확률은 16.7%이지만, 라운드가 진행될수록 확률은 급격히 상승합니다. 사망 확률은 5라운드 후 약 60%, 10라운드 후 84%, 20라운드 후 97%, 30라운드 후에는 99%까지 치솟습니다. 이것이 바로 시간 평균입니다.
같은 게임이지만, 시간에 따라 수행하면 완전히 다른 결과가 나타납니다. 상금을 받을 당신이 살아있지 않다면, 그 상금이 대체 무슨 소용입니까?
에르고드적: 앙상블 평균 = 시간 평균
비에르고드적: 앙상블 평균 ≠ 시간 평균
에르고드성의 역사
과거로 거슬러 올라가 봅시다. '에르고드성'이라는 단어는 그리스어 'ergon'(작업/일)과 'odos'(경로)에서 유래되었습니다. 문자 그대로 해석하면 '작업의 경로'라는 뜻입니다.
에르고드성은 물리학, 그중에서도 특히 통계 역학 분야에서 탄생했습니다.
1870년대, 루드비히 볼츠만은 기체 분자의 행동을 설명하려 노력하던 중 '에르고드 가설'을 도입했습니다.
그의 고민은 "어떻게 수조 개의 기체 분자의 행동을 예측할 것인가?"였습니다. 그가 내놓은 해결책은 특정 순간에 모든 분자의 상태를 평균 내는 것이 시간의 흐름에 따라 단일 분자의 궤적을 추적하는 것과 동일하다고 가정하는 것이었습니다.
앙리 푸앵카레와 수학자들(1900년대 초)은 볼츠만의 가설을 공식화하고 의문을 제기하기 시작했습니다. 이후 1931년, 조지 버코프와 존 폰 노이만이 각각 독립적으로 최초의 엄밀한 에르고드 정리를 증명해내며 에르고드성에 확고한 수학적 토대를 마련했습니다.
올레 피터스(Ole Peters, 2009년 이후)는 경제학이 근본적으로 비에르고드적인 시스템에 에르고드적 가정을 적용해 왔다고 주장합니다. 주류 경제 이론은 핵심적으로 예산 제약 하의 '효용 극대화'에만 집중할 뿐, 시간이 흐름에 따라 발생할 수 있는 '완전한 파산'의 가능성은 고려하지 않습니다.
에르고드 경제학은 개인 주체가 부의 '기대값'이나 '효용'을 극대화하는 것이 아니라, 부의 '시간 평균 성장률'을 극대화해야 한다고 상정합니다.
여기에 문제가 있습니다. 다시 러시안 룰렛 게임으로 돌아가 봅시다. 기대값(즉, 0.83 = 5/6 x 1 + 1/6 x 0)은 죽음을 평균 계산 속의 여러 가중치 중 하나로만 취급합니다. 결국 총알이 발사되었을 때 발생하는 '되돌릴 수 없고, 영구적이며, 반복 불가능한 사건'에 단순히 숫자 '0'을 부여하고, 마치 그것이 회복 가능한 결과인 양 ...
