[Option Volatility & Pricing] 23.7. 왜도와 첨도

[Option Volatility & Pricing] 9.5. Lambda (람다) 델타(Delta)는 기초자산 가격이 1포인트 변할 때 옵션의 가치가 얼마나 변하는지를 알려준다. 하지만 기초자산 가격이 퍼센트 단위로 변할 때, 옵션의 가치가 퍼센트 단위로 어떻게 변하는지에 대해서도 물어볼 수 있다. 이론적 가치가 4.00이고 델타가 20인 콜옵션을 고려해보자. 기초자산 계약이 100의 가격으로 거래되고 있을 때, 기초자산이 1포인트 상승하여 101이 되면, 이 옵션의 새로운 델타(감마를 무시하고)는 약 4.20이 될 것이다. 그런데 이러한 변화가 퍼센트 단위로는 어떻게 나타날까? 기초자산은 1% (1/100) 변한 반면, 옵션은 5% (0.20/4.00) 변했다. 이 옵션의 람다(Lambda) 또는 탄력성(Elasticity)은 5이다. 즉, 퍼센트 단위로, 옵션은 기초자산 계약의 변화율보다 5배 더 빠르게 변할 것이다. 람다는 단순히 옵션의 델타(소수점 형식)를 기초자산 가격 (S)과 옵션의...

[Option Volatility & Pricing] 9.4. Gamma (감마) 감마(Gamma)는 델타(Delta)의 기초자산 가격 변화에 대한 민감도를 측정한다. 그러나 감마 자체도 시장 상황의 변화에 민감하다. [그림 9-18]에서 알 수 있듯이, 감마는 옵션이 등가격(ATM, At The Money)일 때 가장 크다. 이는 세타(Theta)와 베가(Vega)와 유사한데, 이들 역시 옵션이 등가격일 때 가장 크며, 이는 옵션 거래의 중요한 원칙으로 이어진다: 감마, 세타, 그리고 베가는 옵션이 등가격일 때 가장 크다. 이러한 이유로, 대부분의 옵션 시장에서 등가격 옵션이 가장 활발하게 거래되는 경향이 있다. 이러한 옵션들은 트레이더들이 옵션 시장에 진입할 때 찾는 특성을 지니고 있다. [그림 9-18] 기초자산 가격 변화에 따른 옵션의 감마 높은 행사가격에서 증가하는 등가격 옵션의 세타와 베가와 달리, 등가격 옵션의 감마는 높은 행사가격에서 감소한다. 그 이유를 이해하기 위해서는 감마가 기초자산 가격이 1포인트 변할 때 델타의 변화를 나타낸다는 점을 상기해야 한다. 하지만 이론적 가격 모델은 변화를 퍼센트 단위로 측정한다. 이러한 측정법에 따르면, 기초자산 가격이 50일 때 1포인트 가격 변화(2% 변화)는 기초자산 가격이 100일 때 1포인트 가격 변화(1% 변화)보다 크다. 등가격 옵션의 세타와 베가는 행사가격에 비례하지만, 감마는 반비례한다. 따라서 행사가격이 50인 옵션의 감마는 행사가격이 100인 옵션의 감마보다 두 배 크다. 등가격 옵션이 가장 큰 감마를 가지므로, 기초자산 가격이 행사가격에 가까워질수록 옵션의 감마는 상승하고, 기초자산 가격이 행사가격에서 멀어질수록 감마는 하락한다. 기초자산 가격 변화에 대한 감마의 민감도는 때때로 '속도(Speed)'라고 불리며, 이는 [그림 9-19]에 나타나 있다. 속도는 델타가 약 15인 콜옵션과 델타가 약 -15인 풋옵션, 그리고 델타가 약 85인 콜옵션과 델타가 약 -85인 풋옵션에서 가장 크다....

[Option Volatility & Pricing] 9.3. Vega (베가) [그림 9-12]는 기초자산 가격 변화에 따른 옵션의 베가(vega)를 보여준다. 이 그림은 [그림 9-8]과 거의 동일하다. 세타(Theta)와 마찬가지로, 베가는 옵션이 등가격(At the money)일 때 가장 크며, 행사가격이 높은 등가격 옵션이 행사가격이 낮은 등가격 옵션보다 더 큰 베가를 가진다. 더 나아가, 등가격 옵션의 베가는 그 행사가격에 비례한다. 모든 다른 조건이 동일하다면, 행사가격이 100인 등가격 옵션의 베가는 행사가격이 50인 옵션의 베가보다 두 배가 될 것이다. 또한, 델타(Delta)의 변동성 변화에 대한 민감도를 나타내는 용어였던 바나(Vanna)는 베가의 기초자산 가격 변화에 대한 민감도를 나타내는 용어로도 사용될 수 있다. 이 두 가지 해석은 수학적으로 동일하다. [그림 9-12] 기초자산 가격 변화에 따른 옵션의 베가 [그림 9-13]은 변동성 변화에 따른 내가격(In-the-money), 등가격(At-the-money), ...

[Option Volatility & Pricing] 9.2. Theta (세타) 옵션의 세타(Theta)는 시장 조건뿐만 아니라 옵션이 내가격(In the money), 등가격(At the money), 외가격(Out of the money) 상태인지에 따라 달라진다. [그림 9-8]에서 볼 수 있듯이, 옵션의 세타는 등가격일 때 가장 크며, 내가격 또는 외가격으로 이동할수록 세타는 감소한다. 옵션의 세타는 시간 가치의 함수이기 때문에, 매우 깊은 내가격 옵션이나 매우 먼 외가격 옵션은 시간 가치가 거의 없으므로 이러한 옵션들의 세타가 매우 낮다는 것은 논리적이다. [그림 9-8] 옵션의 세타가 기초 자산 가격 변동에 따라 변화하는 모습. 또한 모든 조건이 동일할 때, 기초 자산 가격이 높은 경우의 등가격 옵션이 기초 자산 가격이 낮은 경우의 등가격 옵션보다 세타 값이 더 크다는 점에 유의해야 한다. 이를 이해하기 위해 행사가격이 10인 콜옵션과 행사가격이 1,000인 콜옵션을 생각해 보자. 두 옵션 모두 등가격이며, 만기까지의 시간과 내재변동성도 동일하다면, 어떤 옵션이 더 가치 있을까? 당연히 1,000 콜옵션이 더 가치가 있을 것이다. 이는 더 가치 있는 자산을 매수할 수 있는 권리를 의미하기 때문이다. 두 옵션 모두 등가격이므로 시간 가치만을 가지며, 따라서 1,000 콜옵션의 세타가 10 콜옵션의 세타보다 커야 한다. [그림 9-9]는 시간 경과에 따른 내가격, 등가격, 외가격 옵션의 이론적 가치를 보여준다. 옵션의 수명 초반에는 이론적 가치 그래프의 기울기(가치 감소율)가 각 옵션에 대해 비슷하다. 그러나 옵션 만기가 다가올수록, 내가격과 외가격 옵션의 가치 감소율은 느려지는 반면, 등가격 옵션의...

[Option Volatility & Pricing] 9.1. Delta (델타) 우리는 이미 시장 조건의 변화에 대한 델타의 민감도를 살펴보았다. [그림 7-6]에서 우리는 기초 자산 가격이 변할 때 델타가 어떻게 변하는지 확인했고, 이 변화를 옵션의 감마로 나타냈다. 기초 자산 가격의 변화 외에도 델타는 변동성과 시간의 변화에도 민감하다. [그림 9-1]은 변동성이 변화할 때 콜 옵션의 델타가 어떻게 변하는지를 보여준다. 변동성이 증가함에 따라 외가격 콜 옵션의 델타는 상승하고 내가격 콜 옵션의 델타는 하락하며, 두 델타 모두 50을 향해 수렴하는 경향을 보인다. 이는 얼핏 생각해도 논리적이다. 낮은 변동성 시장에서는 외가격 콜 옵션이 외가격에 머물 가능성이 크기 때문에 델타는 0에 가까워지고, 내가격 콜 옵션은 내가격에 머물 가능성이 크기 때문에 델타는 100에 가까워진다. 반면 높은 변동성 시장에서는 반대의 효과가 나타난다. 외가격 콜 옵션은 내가격으로 진입할 가능성이 높아지고, 내가격 콜 옵션은 외가격으로 벗어날 가능성이 높아진다. 따라서 두 옵션의 델타는 모두 50을 향해 움직이게 된다. [그림 9-1] 콜 옵션의 델타 값이 변동성 변화에 따라 변하는 모습 변동성에 관계없이 등가격 옵션의 델타는 50에 가까운 상태를 유지하는 경향이 있다. 이는 일반적으로 사실이지만, 금리의 변화나 주식 옵션의 경우 배당금의 변화로 인해 선물 가격이 변할 수 있다. 이론적 가격 모델은 옵션을 선물 가격에 맞추어 평가하기 때문에, 등가격 콜 옵션의 델타는 실제로 50보다 높거나 낮을 수 있다. 옵션이 정확히 선물 가격에 위치하더라도 (행사 가격과 선물 가격이 동일할 때), 콜 옵션의 델타는 여전히 50보다 약간 높게 된다. 이는 옵션을 평가할 때 사용하는 로그정규 분포 때문에 발생하는데, 이는 [그림 9-1]에서 확인할 수 있다. 이 그림에서 등가격 콜 옵션의 델타가 변동성이 증가함에 따라 약간 증가하는 모습을 보인다. 옵션의 델타는 변동성 변화에 따라 변하기 때문에, 트레이더는 포지션이 실제로 델타 중립인지 확신할 수 없다. 델타는 기초 자산의 변동성에 따라 달라지며, 이는 옵션의 수명 동안 미래에 발생할 일이다. 우리가 델타를 계산할 때 사용하는 변동성은 예측에 불과하다. 우리가 정확히 예측할 수도 있지만, 틀릴 수도 있다. 만약 틀리게 예측하면, 우리의 델타 값은 잘못될 것이다. ...