[번역] 옵션 내재변동성과 왜도를 이용한 포트폴리오 선택의 개선

원문 : Improving Portfolio Selection Using Option-Implied Volatility and Skewness (2012, Vicor DeMiguel)

https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1474212

※ ChatGPT로 초벌번역 후, 매끄럽지 않은 부분은 문맥을 고려하여 임의로 수정하였습니다.

이 논문의 목적은 옵션 내재 정보를 활용하여 다수의 종목으로 구성된 평균-분산 포트폴리오의 선택을 개선할 수 있는지를 검토하고, 어떤 유형의 옵션 내재 정보가 외부 표본(out-of-sample) 성과 향상에 가장 유용한지를 입증하는 것이다. 포트폴리오 성과는 변동성, 샤프 비율, 회전율(turnover)로 측정된다.

실증 분석 결과에 따르면, 옵션 내재 변동성(implied volatility)을 활용하는 경우 포트폴리오의 변동성을 줄이는 데 도움이 된다. 반면, 옵션 내재 상관관계(implied correlation)를 사용하는 것은 어떤 지표에도 개선 효과를 보이지 않는다.

내재 변동성, 위험 프리미엄(risk premium), 왜도(skewness) 정보를 기반으로 기대수익을 조정하는 방식은, 공매도를 금지하고 거래 비용을 반영한 경우에도 샤프 비율을 크게 향상시키는 것으로 나타났다.

1. 서론

투자자의 최적 평균-분산 포트폴리오(mean-variance portfolio)를 결정하려면, 수익률의 평균(mean), 변동성(volatility), 상관관계(correlation) 등 자산 수익률의 모멘트(moment)를 추정해야 한다. 전통적으로는 과거 수익률 데이터를 활용하여 이러한 모멘트를 추정해왔지만, 연구자들은 표본 추정치(sample estimates)를 기반으로 구성된 포트폴리오가 외부 표본(out-of-sample)에서 성과가 낮다는 사실을 발견했다. 이에 따라, 과거 데이터를 기반으로 한 포트폴리오의 성과를 개선하기 위한 여러 방법들이 제안되어 왔다.

본 논문에서는 과거 데이터에서 추정한 모멘트의 품질을 개선하려는 대신, 옵션 가격에 내재된 주식 수익률 분포의 미래지향적(moment) 모멘트를 활용한다. 본 연구의 주요 기여는, 옵션 내재 정보(option-implied information)의 어떤 측면이 다수의 종목으로 구성된 포트폴리오의 외부표본 성과 향상에 특히 유용한지를 실증적으로 평가하는 데 있다. 구체적으로는 옵션 내재 변동성(implied volatility), 상관관계(correlation), 왜도(skewness), 그리고 확률적 변동성(stochastic volatility)에 대한 리스크 프리미엄(risk premium)을 고려하며, 이들은 Black-Scholes 모형뿐 아니라 Bakshi, Kapadia, and Madan (2003)이 제안한 모델 프리(model-free) 접근법을 통해 구한다.

우선, 위험자산(risky stocks)으로만 구성된 평균-분산 포트폴리오의 외부표본 성과를 향상시키기 위해, 옵션 내재 변동성과 상관관계를 사용하는 방식을 고려한다. 옵션 내재 변동성과 상관관계 사용의 효과를 평가할 때, 기대수익률은 모든 자산에 대해 동일하게 설정하여, 기대수익 추정의 큰 오차로 인한 혼동을 방지한다. 결과적으로 평균-분산 포트폴리오는 최소분산 포트폴리오(minimum-variance portfolio)로 환원된다. 표본 공분산 행렬(sample covariance matrix)을 이용한 최소분산 포트폴리오뿐 아니라, 우리는 다음과 같은 다양한 대안을 함께 고려한다.

공매도 제약(shortsale-constrained)이 있는 최소분산 포트폴리오
Ledoit and Wolf (2004a, b)의 공분산 행렬 수축(shrinkage) 기법이 적용된 최소분산 포트폴리오
Elton, Gruber, and Spitzer (2006)가 제안한, 모든 상관관계를 0으로 또는 전체 자산쌍 간 평균 상관관계로 설정한 포트폴리오

분석 결과, 리스크 프리미엄으로 조정된 옵션 내재 변동성을 최소분산 포트폴리오에 사용하는 경우, 과거 수익률 데이터만을 기반으로 한 전통적인 포트폴리오에 비해 외부표본 변동성이 10% 이상 감소한다. 반면, 샤프 비율의 변화는 유의하지 않다. 따라서, 옵션 내재 변동성을 사용하는 것은 외부표본 포트폴리오의 변동성을 유의하게 줄일 수 있는 수단이 된다.

다음으로, 우리는 리스크 프리미엄으로 조정된 옵션 내재 상관관계를 사용하여 최소분산 포트폴리오의 성과를 개선할 수 있는지를 살펴본다. 분석 결과, 대부분의 경우 옵션 내재 상관관계는 성과 개선에 기여하지 않는다. 실증 결과에 따르면, 옵션 내재 상관관계를 통해 얻는 이익은, 해당 상관관계로부터 추정된 공분산 행렬의 시간적 불안정성 증가로 인해 초래되는 높은 회전율(turnover)을 상쇄하기에 충분하지 않다.

마지막으로, 외부표본 평균-분산 포트폴리오의 성과를 향상시키기 위해, 옵션 내재 변동성, 확률적 변동성에 대한 리스크 프리미엄, 옵션 내재 왜도를 사용하는 접근을 고려한다. 이 특성들은 기존 문헌에서 기대수익률의 종단면적 분포(cross-sectional variation)를 설명하는 데 유용하다고 알려져 있다. 따라서 이러한 특성들이 평균-분산 포트폴리오 구조 안에서 어떤 영향을 미치는지를 탐색하는 것은 자연스러운 일이다.

이러한 특성들을 사용해 종목을 순위화하고, 스케일링 계수를 통해 기대수익률을 조정하거나, Brandt, Santa-Clara, and Valkanov (2009)의 모수적 포트폴리오(parametric-portfolio) 방법론과 함께 사용하는 경우, 공매도를 금지하고 거래비용을 반영하더라도 샤프 비율이 상당히 개선되는 결과를 얻는다.

이 서론의 마지막에서는 본 연구가 기존 문헌과 어떤 관련이 있는지를 논의한다. 옵션 가격이 자산 수익률의 미래 모멘트(moment)에 대한 정보를 담고 있다는 아이디어는 Black and Scholes (1973)와 Merton (1973)의 연구 이후로 널리 이해되어 왔으며, Poon and Granger (2005)는 이 문헌에 대한 포괄적인 서베이를 제공한다. 본 연구의 초점은 옵션 가격에 내재된 정보가 포트폴리오 선택을 어떻게 개선하는 데 사용될 수 있는지를 분석하는 것에 있다.

이와 관련된 기존 연구로는 두 편의 논문이 있다. 첫 번째는 Aït-Sahalia and Brandt (2008)의 연구로, 이들은 옵션 내재 상태가격(option-implied state prices)을 이용해 Cox and Huang (1989)의 마팅게일 표현(martingale representation)을 기반으로 기간 간 소비 및 포트폴리오 선택 문제(intertemporal consumption and portfolio choice)를 해석하지만, Merton (1971)의 동적계획(dynamic programming) 접근을 따르지는 않는다. 그러나 이 논문의 초점은 외부표본 성과가 우수한 최적 포트폴리오를 찾는 데 있지는 않다.

두 번째 논문은 Kostakis, Panigirtzoglou, and Skiadopoulos (2011)로, 이들은 S&P500 지수와 무위험 자산 간의 자산 배분 문제(asset-allocation problem)를 다룬다. 해당 논문은 옵션 가격으로부터 유추한 수익률 분포를 기반으로 한 포트폴리오가 과거 수익률 분포에 기반한 포트폴리오보다 외부표본 성과에서 더 우수하다는 결과를 제시한다.

하지만 이 연구와 우리의 연구 사이에는 중요한 차이가 있다. Kostakis 외의 논문은 S&P500 지수와 무위험 자산 사이에서의 자산 배분 문제를 다루는 반면, 본 연구는 다수의 개별 주식들 간의 자산 배분이라는 포트폴리오 선택 문제를 다룬다. Kostakis 외 논문의 방법론을 많은 위험자산으로 확장하는 것은 명확하지 않으며, 이들은 대표 투자자의 존재나 금융시장 완전성(financial market completeness) 같은 제약 조건을 필요로 하지만, 본 연구에서는 이러한 가정이 요구되지 않는다.

논문의 구성은 다음과 같다. 제2장에서는 사용한 주식 및 옵션 데이터에 대해 설명한다. 제3장에서는 옵션 데이터를 사용해 변동성, 상관관계, 기대수익률을 예측하는 방법을 설명한다. 제4장에서는 다양한 포트폴리오의 구성 방법과 벤치마크 포트폴리오, 그리고 이들의 성과를 비교하는 데 사용된 측정 지표들을 설명한다. 옵션 내재 정보를 활용한 다양한 포트폴리오의 성과에 대한 주요 결과는 제5장에 제시되어 있다. 제6장에서 결론을 맺는다.

2. 데이터

본 장에서는 본 연구에서 사용한 주식 및 주식 옵션 데이터에 대해 설명한다. 주식 데이터는 CRSP(Center for Research in Security Prices)에서 가져왔으며, 모수적 포트폴리오 방법론(parametric-portfolio methodology)을 구현하기 위해 Compustat의 데이터도 함께 사용한다. 옵션 데이터는 OptionMetrics의 IvyDB에서 제공되며, 전체 표본 기간은 1996년 1월부터 2010년 10월까지이다.

2.1 주식 수익률 및 주식 특성 데이터

우리는 표본 기간 동안 S&P500 지수에 편입된 적이 있는 주식들을 분석 대상으로 삼는다. S&P500 구성 종목의 일별 수익률은 CRSP의 일별 파일로부터 얻었으며, 전체 표본은 총 3,986 거래일에 해당한다.⁶ CRSP 식별자(PERMNO) 기준으로, 최대 961개 종목에 대한 데이터가 존재한다. 이 중에서 전체 기간에 대해 내재변동성(implied volatility) 데이터가 존재하는 종목은 143개이다.

분석의 견고성을 확보하기 위해, 우리는 두 개의 샘플을 설정한다.

첫 번째 샘플은 “샘플 1(Sample 1)”로, 누락 데이터가 없는 143개 종목으로 구성된다.
두 번째 샘플은 “샘플 2(Sample 2)”로, 특정 날짜 기준으로 S&P500 지수에 포함되어 있으면서 그날에 누락된 데이터가 없는 종목들을 포함한다. (예: 동일 기초자산 및 동일 만기에 대해 다양한 행사가격을 가진 옵션 가격이 모두 존재해야 하며, 이는 모델프리(Model-free) 내재변동성과 내재 왜도를 계산하는 데 필요하다.)

따라서 샘플 2에 포함된 종목 수는 날짜별로 가변적이며, 평균적으로는 하루당 약 400개 종목이 포함된다. 종목의 규모(size, 시가총액)는 주당 주가 × 발행주식수로 계산하며, 이 두 변수는 모두 CRSP에서 가져온다. 가치(value) 또는 장부가 대비 시장가 비율(BTM, book-to-market)은 Compustat의 분기별 재무데이터(Quarterly Fundamentals file)를 이용해 측정한다. 12개월 모멘텀(momentum, MOM)은 CRSP의 일별 수익률 데이터를 이용해 각 날짜 t에 대해, t−251−21일부터 t−21일까지의 누적 수익률로 정의된다.

2.2 주식 옵션 데이터

주식 옵션 데이터는 IvyDB를 사용하며, 이 데이터베이스는 대부분 미국식 옵션으로 구성된 미국 상장 지수 및 개별 주식 옵션 전반을 포함하고 있다. 우리는 volatility surface 파일을 활용하는데, 이 파일에는 다양한 표준 만기와 옵션 델타 값 구간에 대해 스무딩된 내재변동성 곡면(smoothed implied-volatility surface) 정보가 담겨 있다.

이 surface 파일로부터 우리는 만기 30일짜리 옵션에 대해, 콜과 풋의 외가격(out-of-the-money) 내재변동성을 선택한다. 구체적으로, 델타가 0.5 이하인 콜옵션, 델타가 –0.5 이상인 풋옵션의 내재변동성을 수집한다.⁹ 각 날짜와 기초 주식, 그리고 만기에 대해 우리는 surface 파일로부터 총 13개의 내재변동성 수치를 얻으며, 이를 통해 위험중립 분포(risk-neutral distribution)의 모멘트(moment)들을 계산한다.

일부 옵션 기반 특성은 ATM(등가격) 옵션에 대한 파라메트릭 Black-Scholes 내재변동성을 이용하기도 한다. 이 경우, 절대 델타값이 0.5인 콜옵션과 풋옵션의 내재변동성 평균으로 ATM 내재변동성을 계산한다.

3. 옵션 내재 정보

본 장에서는 포트폴리오 선택에 활용되는 옵션 내재 모멘트(option-implied moments)의 계산 방식과, 옵션 내재 모멘트와 과거 실현 모멘트가 실제 실현값을 예측하는 능력의 비교를 설명한다. 우리는 다음과 같은 측정 지표들을 고려한다.

모델프리 옵션 내재 변동성 (model-free option-implied volatility)
변동성 리스크 프리미엄 (volatility risk premium):
실현 변동성과 Black-Scholes 내재 변동성 간의 차이로 측정
옵션 내재 상관관계 (option-implied correlation)
모델프리 옵션 내재 왜도 (model-free option-implied skewness)
왜도의 대용치(proxy for skewness):
콜옵션과 풋옵션으로부터 각각 얻은 Black-Scholes 내재변동성 간의 차이로 측정됨

3.1 옵션을 이용한 변동성 예측

옵션 가격이 사용 가능한 경우, 가장 직관적인 첫 번째 단계는 이 정보를 활용하여 내재변동성(implied volatility)을 추정하고, 이를 기반으로 향후 변동성을 예측하는 것이다.

우리는 Black and Scholes (1973)의 모델 특정(model-specific) 내재변동성이 아니라, 이를 대체할 수 있는 모델프리 내재변동성(MFIV, model-free implied volatility)을 사용한다. MFIV는 옵션 만기까지의 주식 수익률 변동성에 대한 위험중립 기대값(risk-neutral expected volatility)에 대한 비모수적 추정치(nonparametric estimate)로, Black-Scholes 내재변동성 스마일 전체로부터 정보를 포함하며(Vanden, 2008), Black-Scholes 내재변동성보다 실현 변동성을 더 잘 예측할 것으로 기대된다.

우리는 MFIV를 Bakshi, Kapadia, and Madan (2003)이 정의한 분산 계약(variance contract)의 제곱근으로 계산하며, 구체적인 정의는 아래와 같다.

S(t): 시점 t에서의 주가
$R(t, \tau) \equiv \ln S(t + \tau) - \ln S(t)$ : 기간 τ\tauτ에 대한 로그 수익률
r: 무위험이자율
$V(t, \tau) \equiv E^*_t \{ e^{-r\tau} R(t, \tau)^2 \}$ : 분산 계약(variance contract)의 공정 가치
$W(t, \tau) \equiv E^*_t \{ e^{-r\tau} R(t, \tau)^3 \}$ : 세제곱 계약(cubic contract)의 공정 가치
$X(t, \tau) \equiv E^*_t \{ e^{-r\tau} R(t, \tau)^4 \}$ : 네제곱 계약(quartic contract)의 공정 가치

여기서 기대 연산자 $E^*_t \{\cdot\}$ 는 시점 t에서의 위험중립 기대값(risk-neutral expectation)을 의미하며, 이 정의들은 모두 Bakshi, Kapadia, and Madan (2003)에 따른 것이다.

다음과 같은 정의를 확인해보자.

\mu(t, \tau) = e^{r\tau} - 1 - \frac{e^{r\tau}}{2} V(t, \tau) - \frac{e^{r\tau}}{6} W(t, \tau) - \frac{e^{r\tau}}{24} X(t, \tau)

그렇다면, τ기간에 대한 모형-독립 내재변동성 (Model-Free Implied Volatility, MFIV)는 다음과 같이 계산된다.

\text{MFIV}(t, \tau) = \left( V(t, \tau) \right)^{1/2}

그리고 τ기간에 대한 모델프리 내재왜도 (Model-Free Implied Skewness, MFIS)는 다음과 같이 계산된다.

\text{MFIS}(t, \tau) = \frac{e^{r\tau} W(t, \tau) - 3 \mu(t, \tau) e^{r\tau} V(t, \tau) + 2 \left( \mu(t, \tau) \right)^3}{\left( e^{r\tau} V(t, \tau) - \left( \mu(t, \tau) \right)^2 \right)^{3/2}}

분산, 삼승, 사승 계약의 가치를 정확하게 계산하기 위한 적분을 수행하려면 옵션 가격의 연속체가 필요하다. 우리는 이 적분들을 이산화(discretize)하고, 사용 가능한 옵션들을 이용해 근사한다. 앞서 언급했듯이, 우리는 각 만기별로 보통 13개의 외가격(OTM) 콜옵션과 풋옵션의 내재변동성을 가지고 있다. 큐빅 스플라인(cubic splines)을 사용해 이들을 주어진 moneyness 범위 내에서 보간하고, 각 경계점의 마지막 알려진 값을 이용해 바깥 구간을 외삽한다. 이를 통해 moneyness 범위 1/3에서 3 사이를 1,001개의 격자점(grid points)으로 채운다. 이후 보간된 변동성 값과 해당 만기의 알려진 이자율을 이용하여 옵션 가격을 계산하고, 이 가격들을 사용하여 각각 식 (1)과 (2)에 따라 모형-독립 내재변동성(MFIV)과 모형-독립 내재왜도(MFIS)를 계산한다.

하지만 포트폴리오 선택을 위해 우리가 실제로 필요한 것은 주가 수익률의 위험중립 하의 내재변동성이 아니라, 객관적 분포 하에서의 기대변동성(expected volatility)이다. 이제 우리는 모형-독립 내재변동성에 담긴 정보를 이용해 어떻게 객관적 확률측도 하의 변동성을 구할 수 있는지 설명한다.

내재변동성(implied volatility)은 실제 확률측도(true measure) 하의 기대변동성과 변동성 위험 프리미엄(volatility risk premium)만큼 차이가 난다. Bollerslev, Gibson, and Zhou (2004), Carr and Wu (2009) 등은 기대변동성 대신 실현변동성(realized volatility, RV)을 사용하여 변동성 위험 프리미엄을 추정할 수 있음을 보여주었다. 변동성 위험 프리미엄의 크기가 실제 확률측도 하의 변동성 수준에 비례한다고 가정하면, 우리는 특정 주식에 대해 다음과 같이 과거 $T + \Delta t$ 거래일 동안의 월간 평균 내재변동성과 실현변동성의 비율로 월간 역사적 변동성 위험 프리미엄 조정값(HVRP)을 추정한다.

\text{HVRP}_t = \frac{ \sum_{i = t - T - \Delta t + 1}^{t - \Delta t} \text{MFIV}_{i, i + \Delta t} }{ \sum_{i = t - T - \Delta t + 1}^{t - \Delta t} \text{RV}_{i, i + \Delta t} }.

우리의 분석에서는 모형-독립 내재변동성(MFIV)과 실현변동성(RV)을 사용하여, 과거 1년(−272일에서 −21일까지)에 걸쳐 매일의 역사적 변동성 위험 프리미엄 조정값(HVRP)을 추정한다. 이때 내재변동성과 실현변동성은 모두 21거래일 기간을 기준으로 측정되며, 연율화된다.

그 후, 다음 기간 t부터 $t+Δt$ 까지의 변동성 위험 프리미엄이 식 (3)에 정의된 역사적 변동성 위험 프리미엄으로 잘 근사된다고 가정하면, 향후 실현변동성 $\hat{RV}_t$ 에 대한 예측값을 구할 수 있다. 우리는 이 값을 위험 프리미엄이 보정된 내재변동성(risk-premium-corrected implied volatility)이라고 부른다.

\hat{\text{RV}}_{t, t+\Delta t} = \frac{\text{MFIV}_{t, t+\Delta t}}{\text{HVRP}_t}.

이제 우리는 위험 프리미엄이 보정된 내재변동성이 과거 변동성(historical volatility)보다 실현변동성(realized volatility)을 더 잘 예측한다는 직관을 검증하고자 한다. 이를 위해 우리는 각 주식의 일별 수익률로부터 계산된 월간 실현변동성에 대한 예측변수로 먼저 과거 변동성을, 그리고 다음으로 위험 프리미엄이 보정된 내재변동성을 사용한다. 그런 다음, 각 예측변수의 성과를 평균제곱근오차(RMSE) 및 평균예측오차(ME)를 기준으로 비교한다.

그 결과, Sample 1에서 위험 프리미엄이 보정된 내재변동성의 평균 RMSE는 0.1274로 나타났으며, 이는 과거 일간 변동성의 RMSE인 0.1671보다 작다. 두 예측변수 모두의 ME는 음수이며, 이는 두 변수 모두 평균적으로 실현변동성에 대해 상향 편향(biased upwards) 되어 있음을 나타낸다. 그러나 위험 프리미엄이 보정된 내재변동성의 ME는 −0.0047로, 과거 변동성의 ME인 −0.0185보다 크기 차원에서 한 단계 작다(one order of magnitude smaller).

3.2 옵션을 이용한 상관관계 예측

우리가 고려하는 두 번째 옵션 기반 정보는 내재 상관관계(implied correlation)이다. 포트폴리오 최적화를 위해서는 객관적 확률측도(objective measure) 하의 상관관계가 필요하므로, 우리는 처음부터 위험 프리미엄이 보정된(option-implied) 상관관계를 어떻게 구할 수 있는지를 논의한다.

포트폴리오가 N개의 개별 주식으로 구성되어 있고, 각각의 주식에 대한 비중이 $w_i (i= \{1, \ldots, N\})$ 일 때, 객관적 확률측도 P 하에서의 포트폴리오 p의 분산은 다음과 같이 쓸 수 있다.

\left( \sigma^{P}_{p,t} \right)^2 = \sum_{i=1}^{N} w_i^2 \left( \sigma^{P}_{i,t} \right)^2 + \sum_{i=1}^{N} \sum_{\substack{j=1 \\ j \ne i}}^{N} w_i w_j \sigma^{P}_{i,t} \sigma^{P}_{j,t} \rho^{P}_{ij,t}

포트폴리오의 미래 변동성 $\hat{\sigma}^P_{p,t}$ 과 그 구성 요소들의 변동성 $\hat{\sigma}^P_{i,t}$ 에 대한 기대값을 이미 추정했다고 가정하자. 이제 우리는 식 (4)을 항등식으로 성립시키기 위한 기대 상관계수 $\hat{\rho}^P_{ij,t}$ 집합을 추정하고자 한다. 식 (4)에 기대 변동성들을 대입하면, $N \times (N - 1) / 2$ 개의 미지의 상관계수 $\hat{\rho}^P_{ij,t}$ 가 포함된 하나의 방정식이 된다. 따라서 모든 자산쌍에 대한 상관계수를 계산하기 위해서는 식별 가정(identifying assumptions)이 필요하다.

우리는 Buss and Vilkov (2011)이 제안한 접근법을 따른다. 이들은 모든 자산쌍 간 상관관계가 서로 다를 수 있도록 허용하는 이질적(heterogeneous) 내재 상관관계 행렬(implied-correlation matrix)을 계산한다. 그들의 접근법에서는, 기대 상관관계는 과거 상관관계와 1(최대 상관값) 사이 거리의 일정 비율 ψ만큼 차이가 난다고 가정한다.

\rho^{P}_{ij,t} - \hat{\rho}^{P}_{ij,t} = \psi_t (1 - \rho^{P}_{ij,t}),

이는 다음을 의미한다.

\hat{\rho}^{P}_{ij,t} = \rho^{P}_{ij,t} - \psi_t (1 - \rho^{P}_{ij,t}). \tag{5}

이 식을 위의 식 (4)에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

\left( \hat{\sigma}^{P}_{p,t} \right)^2 = \sum_i \sum_j w_i w_j \hat{\sigma}^{P}_{i,t} \hat{\sigma}^{P}_{j,t} \left( \rho^{P}_{ij,t} - \psi_t (1 - \rho^{P}_{ij,t}) \right),

이로부터 ψ에 대한 명시적 표현식을 도출할 수 있다.

\psi_t = \frac{ \left( \hat{\sigma}^{P}_{p,t} \right)^2 - \sum_i \sum_j w_i w_j \hat{\sigma}^{P}_{i,t} \hat{\sigma}^{P}_{j,t} \rho^{P}_{ij,t} }{ \sum_i \sum_j w_i w_j \hat{\sigma}^{P}_{i,t} \hat{\sigma}^{P}_{j,t} (1 - \rho^{P}_{ij,t}) }.

그런 다음 식 (5)를 이용하여 기대 상관관계 $\hat{\rho}^P_{ij,t}$ 를 계산한다. 이를 통해 우리는 기대 주가지수(index) 변동성과 개별 종목의 변동성으로부터 추정한, 위험 프리미엄이 보정된 “이질적(heterogeneous)” 내재 상관관계 행렬(implied-correlation matrix)을 구성하게 된다. 이 행렬은 실제 확률측도(true measure) 하에서의 미래 상관관계에 대한 시장의 최신 인식을 담고 있다.

옵션 기반 내재 상관관계가 과거 상관관계보다 실현 상관관계(realized correlation)를 더 잘 예측하는지를 판단하기 위해, 우리는 두 예측변수(과거 상관관계와 내재 상관관계)에 대해 21거래일 실현 상관관계를 대상으로 평균제곱근오차(RMSE)와 평균예측오차(ME)를 계산하였다.

Sample 1과 Sample 2 모두에서, 과거 상관관계의 RMSE는 약 0.25였고, 옵션 내재 상관관계의 RMSE는 0.26으로 약간 더 컸다. 그러나 두 예측치의 RMSE 모두, 해당 샘플의 평균 실현 상관관계인 0.29보다 약간 작을 뿐이어서, 예측력이 거의 없다는 것을 의미한다.

Sample 1에서는 과거 상관관계의 ME가 0.0039이고 내재 상관관계의 ME는 −0.0068로, 두 값 모두 유사한 크기 수준을 보였다. 반면 Sample 2에서는 과거 상관관계의 ME가 0.0342이고 내재 상관관계의 ME는 0.0071로, 옵션 내재 상관관계의 편향이 한 차원 작다(one order of magnitude smaller)는 것을 보여준다.

3.3 옵션을 이용한 수익률 설명

우리는 단면적 주식 수익률을 설명하기 위해 네 가지 옵션 기반 지표를 사용한다. ...

원문 : Improving Portfolio Selection Using Option-Implied Volatility and Skewness (2012, Vicor DeMiguel)

1. 서론