[번역] 변동성 스큐에는 정보가 존재하는가?

원문: Is there Information in the Volatility Skew? (2006, James S. Doran)

https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=874991

※ ChatGPT로 초벌번역 후, 매끄럽지 않은 부분은 문맥을 고려하여 임의로 수정하였습니다

초록

1987년 주식시장 붕괴 이후, 옵션 가격은 강한 음의 스큐를 보이기 시작했으며, 이는 외가격 풋옵션의 내재변동성이 등가격 및 내가격 풋옵션보다 높다는 것을 의미한다. 이러한 특징을 반영하기 위해, 데이터 생성 과정에 다중 점프(multiple jumps)와 확률적 변동성(stochastic volatility)을 도입하여 블랙-숄즈 모형을 개선하려는 시도가 이어졌다. 이는 음의 왜도(skewness)와 높은 첨도(leptokurtic distribution)를 설명하기 위함이다. 일반적인 결론은 단기 옵션에서 점프 프리미엄(jump premium)이 크며, 이것이 짧은 만기의 옵션들에서 나타나는 현저한 음의 스큐를 가장 잘 설명해준다는 것이다. 음의 스큐에 대한 다른 설명으로는 수요 충격과 공급 부족에 따른 시장 유동성의 영향이 제시되기도 한다.

스큐의 원인과는 별개로, 본 연구는 스큐의 형태에 정보가 존재하는지 — 즉 옵션 시장이 주식시장 급락(crash)이나 급등(spike)을 정확히 예측할 수 있는지를 평가한다. 우리는 1996년부터 2002년까지 S&P 100 지수의 모든 옵션 데이터를 사용하여, 스큐의 형태가 시장의 “붕괴” 혹은 “급등” 시점을 유의미한 확률로 예측할 수 있음을 보였다. 그러나 급등 예측의 규모(magnitude)는 경제적으로 유의미하지 않음을 발견했다. 이러한 발견은 특히 단기 외가격 풋옵션에서 가장 강하게 나타났으며, 이는 투자자들이 큰 하방 움직임에 대해 회피적(attentive)이라는 기존의 인식과 일치한다. 또한, 옵션의 만기까지 남은 기간이 길어질수록 급락/급등 예측력은 감소하는 경향이 있음도 확인되었다.

I. 서론

ATM(등가격) 내재변동성과 향후 실현변동성 간의 관계를 통해, 내재변동성에 내포된 정보의 내용은 오랫동안 광범위하게 연구되어 왔다. Christensen와 Prabhala(1998), Jorion(1993), Doran(2005) 등의 연구에 따르면, 내재변동성은 향후 실현변동성의 가장 효율적인(하지만 편향된) 추정치로 간주된다. 이러한 연구는 여러 방향으로 확장될 수 있다. 특히, 등가격 옵션(ATM) 외에도 미래 시장 움직임을 예측할 수 있는 정보가 존재하는가? 본 논문에서는 변동성 스큐의 형태와 미래의 대규모 시장 변동 간에 예측력이 존재한다는 가설을 검증한다.

이 주장에 대한 근거는 여러 연구 분야에서 도출된다. 많은 연구자들은 Black-Scholes(1973) 모형의 가격 산출 한계를 보완하기 위해 확률적 변동성(stochastic volatility), 점프(jumps), 그 외 다양한 요소들을 추가해왔다. 특히, Bates(1991)는 옵션 가격과, 옵션의 가격이 행사가격 대비 어떻게 기울어지는지에 따라 나타나는 왜곡된 분포(skewed pricing distribution)를 분석했다. 점프-확산(jump-diffusion) 과정을 도입하면, 위험회피 성향이 있는 투자자는 자산 가격이 상승하는 경우보다 하락할 가능성에 더 큰 영향을 받게 된다. 이러한 비대칭 점프-확산 모형은 투자자의 자산(또는 시장 전반)에 대한 미래 기대 수익률 인식 변화에 따라 변동성의 왜도(skewness)를 조정할 수 있다.

Manaster와 Rendleman(1982)이 제시했듯이, 만약 옵션 투자자들이 충분한 정보를 갖고 있다면, 스큐에 내포된 정보는 사전에(ex-ante) 존재하며, 그 정보는 사후적으로(ex-post) 성과에 반영되어야 한다. Bates(2000)는 이전 연구를 확장해, 외가격 풋옵션의 가격 왜도(skewness)를 보다 긴 기간에 걸쳐 보다 정교한 모형으로 분석하였다. 그는 1987년 주식시장 붕괴 이후 내재변동성이 영구적이고 극적으로 변화했으며, 옵션 가격에서 매우 뚜렷한 음의 왜도가 나타난다고 보고한다. Bates는 변동성 점프를 통제한 후에도 1988년부터 1993년까지 시장은 자산 가격이 크게 하락할 확률이 매우 높다고 인식하고 있었음을 발견했다. 앞선 연구들과 일치하게, 시장은 여전히 내재변동성에 반영된 정보를 옵션 가격에 반영하고 있다. 그러나 Bates의 결과는 여전히 스큐의 형태와, 그 형태가 변할 경우 시장 움직임에 어떤 영향을 미치는지에 대해 많은 부분을 설명하지 못한다.

Pan(2002)은 Bates(2000)와 Bakshi, Cao, Chen(1997)이 관측한 옵션 가격의 왜도(skewness, 흔히 "smirks")에 대해 다룬다. Pan은 이러한 가격 분포의 smirk 현상을 유발하는 주요 원인이 투자자들의 음의 가격 점프에 대한 공포라고 주장한다. 시장 변동성이 증가하면 변동성 자체의 가격이 오르며, 옵션 가격에서 점프-리스크 요소가 강화된다. 다시 말해, 시장이 더욱 변동성이 커질수록 투자자들은 ‘시장 붕괴’에 대한 우려가 커지고, 이에 따라 풋옵션이 제공하는 ‘보험’ 기능에 더 높은 프리미엄을 지불할 의향을 갖게 된다. Pan의 실증 결과는 점프 리스크 프리미엄이 존재하며, 그 가격은 시장 변동성과 매우 밀접하게 연관되어 있고, 내재변동성과 향후 부정적인 시장 움직임 간에 강한 상관관계가 있음을 뒷받침한다. 그러나 Pan의 연구 또한 스큐의 형태 및 옵션 만기 길이의 차이가 어떤 역할을 하는지는 거의 다루지 않고 있다.

Chen, Hong, Stein(2001)은 거래량, 과거 수익률, 그리고 주가 수익률의 왜도(skewness)를 활용하여 자산시장의 붕괴(crash)를 예측하려고 시도했다. 이들은 Hong과 Stein(1999)에서 제시된 모형을 사용하여, 주식에서 관측되는 비대칭적 변동성(asymmetric volatility)을 포함시켰고, 이는 주가 수익률의 음의 왜도(negative skewness)로 이어진다. Chen 외 연구진은 옵션 및 변동성 관련 문헌에서 연구된 여러 특성과 유사한 변수들을 기반으로 자산시장 붕괴를 예측하는 모형을 제시하였으며, 이들의 모형 구조는 옵션 내재변동성에서 관찰되는 "sneers"나 "smirks" 같은 왜곡된 형태 또한 설명할 수 있다.

Giot(2005)은 VIX와 해당 기초 자산 지수 간의 동시적이고 강한 음의 관계를 실증적으로 보여주었다. 예를 들어, S&P 100 지수가 1% 하락할 경우, VIX 내재변동성 지수는 평균적으로 4.72% 상승하는 경향이 있었다. 이 반응은, 높은 내재변동성이 관측되는 시기가 바로 주식시장 실적이 나쁜 시기와 일치하며, 투자자들이 상당한 “공포 요인(fear factor)”을 경험하고 있다는 해석으로 이어진다. 또한, 이 연구는 내재변동성이 높은 시기 이후에는 단기적인 양의 수익률이 발생할 가능성이 높다는 점을 보여주었으며, 이는 시장이 평균으로 회귀(mean-reversion)하는 성향 때문이라고 해석된다.

이러한 중요한 결과는 Banerjee, Doran, Peterson(2006)의 연구에 의해 더욱 강화된다. 이들은 내재변동성에는 일정 수준의 예측력(forecasting power)이 있음을 시사하며, 특히 VIX 지수의 평균회귀 특성과 수준(level)을 고려했을 때, 단기적으로 지수 수익률을 예측할 수 있다는 결론을 도출했다. 하지만 이 연구들은 VIX만을 분석 대상으로 삼았기 때문에, 스큐의 꼬리 부분(tail)에 담긴 정보, 즉 점프 프리미엄(jump premium)의 효과는 간과하고 있다는 한계가 있다.

우리는 특정 옵션 가격 모형이 다른 모형보다 얼마나 효과적인지를 비교하거나 순위를 매기려는 것이 아니다. 대신, 우리의 전제는 내재변동성 곡선의 왜도(skewness)에 포함된 정보는 어떤 단일 모형으로도 완전히 포착되지 않는다는 점이다. 다른 연구자들은 옵션 가격의 음의 왜도가 부정적 점프 회피(negative jump aversion) 때문이라는 설명에 반대하는 해석을 제시한다. 이들의 결과는 옵션 가격에 양(positive)과 음(negative) 양방향의 점프 프리미엄이 동시에 내재되어 있을 가능성과 일치한다.

이러한 결론에 도달한 요인은 다음과 같다: Garleanu, Pedersen, Poteshman(2005)이 제시한 딜러와 최종 사용자 간의 수요 압력, Evans, Geczy, Musto, Reed(2005)가 밝힌 주식 공매도의 비용, 그리고 Bollen과 Whaley(2004)가 논의한 차익거래의 한계(limits to arbitrage) 등이다. 그러나 본 연구는 이러한 스큐의 발생 원인을 규명하지 않는다. 대신, 우리는 변동성 곡선 자체에 정보가 존재하며, 이 정보가 단기 옵션에 있어서 일정 수준의 예측력을 제공한다는 점을 주장한다.

우리는 ATM 옵션에 포함된 정보만이 아니라, 전체 변동성 스큐의 예측력을 분석함으로써 기존 연구를 확장한다. 내재변동성이 향후 수익률과 실현변동성을 예측할 수 있다는 것이 이미 입증된 바 있고, 변동성 스큐는 시장의 큰 점프 위험에 대한 정보를 담고 있으므로, 우리는 심하게 음의 스큐가 미래 시장 붕괴를 예측할 수 있는지를 검증한다. 이를 위해 OEX S&P 100 지수의 풋옵션과 콜옵션에서 추정한 내재변동성을 활용하여, 기초자산인 S&P 100 지수에서의 큰 가격 변동을 예측한다. 옵션은 만기와 행사가격 대비 수준(moneyness)에 따라 분류되어, 서로 다른 옵션 유형 간 정보의 내용을 비교할 수 있도록 구성된다.

우리는 기존 문헌에 다음과 같은 방식으로 기여한다: VIX 유형의 변동성 지표만으로는 설명하기 어려운 옵션 시장과 자산 시장 간의 직접적인 예측 연결고리를 보다 포괄적으로 정의한다는 점이다. 이론적으로, 옵션 가격에서 나타나는 내재변동성의 "스마일(smile)" 또는 "스머크(smirks)" 형태 내 수준 차이는, 만약 그 내재변동성에 포함된 추가 프리미엄이 “시장 붕괴(market crash)”에 대한 위험 프리미엄으로 정당화된다면, 이는 합리적인 시장의 증거일 수 있다.

그러나 시장이 이러한 붕괴 위험과는 무관한 추가적인 위험 프리미엄을 지불하고 있다면, 이러한 스마일 및 스머크 현상을 합리적인 시장에서 설명해줄 수 있는 다른 명확한 위험 측정 지표(risk measure)를 찾아야 할 것이다.
가격도(moneyness)와 옵션 만기 전반에 걸쳐 내재변동성을 보다 포괄적으로 분석하면, 투자자들의 위험 인식 및 거래 행태에 대한 더 많은 근거를 제공할 수 있다.

구체적으로, 우리는 깊은 외가격 (DOTM, Deep Out-of-the-Money) 풋옵션의 내재변동성이 다음과 어떤 관계를 가지는지 탐색한다

1. 일반 Out-of-the-Money(OTM) 풋옵션

2. At-the-Money(ATM) 풋옵션

3. In-the-Money(ITM) 풋옵션

만약 투자자들이 가까운 미래에 시장 붕괴를 우려한다면, 시장 기대에 대한 견해가 분산되면서 옵션시장에서 예상 주가 변동성은 상승할 가능성이 있다. 예를 들어, 급격한 시장 하락을 우려하는 트레이더들은 DOTM 풋옵션을 매수할 수 있고, 이와 달리 그러한 하락을 심각하게 보지 않는 투자자들은 해당 옵션을 매도할 수 있다.

만약 붕괴 위험을 우려하는 투자자 집단이 다른 투자자들보다 더 많은 정보를 보유하고 있다면, 그러한 정보는 DOTM 및 OTM 풋옵션의 내재변동성에 보다 강하게 반영되어야 한다. 마찬가지로, 만약 시장에 공포가 줄어들거나 낙관론이 확대된다면, 상승 급등(spike upward)에 대한 정보는 OTM 콜옵션의 스큐(skew)에 나타날 것이다.

이러한 현상이 나타나려면 옵션 가격에 양의 점프 프리미엄과 음의 점프 프리미엄이 모두 존재해야 하며, 이는 일반적으로 단일 방향의 점프 프리미엄(보통 음의 방향)만을 가정해 내재 분포를 추정하는 기존 방식과 정면으로 충돌한다. 따라서 우리는 Bates(1991, 2000)의 연구와 같은 관점에서, 옵션 가격의 왜도가 moneyness에 따라 어떻게 변화하는지, 그리고 시장 붕괴 보험(crash insurance)에 해당하는 점프 프리미엄이 과연 정당화되는지를 분석한다.

더 정교한 예측 연결고리는 실무자들에게도 매우 유용할 수 있다. 많은 옵션 사용자들은 헤지 목적 투자자(hedgers) 혹은 투기 목적 투자자(speculators)로 분류된다. 특히 헤지 투자자들은 DOTM 및 OTM 풋옵션을 활용하여 시장의 큰 하락에 대비한 보험 수단으로 사용하는 경향이 강하다. 만약 옵션의 내재변동성이 moneyness에 따라 달라지는 방식과, 기초자산 가격의 움직임 사이에 유의미한 관계가 존재한다면, 이러한 연관성은 헤지 투자자들에게 자산을 보호하기 위한 최적의 헤지 시점을 알려주는 데 도움을 줄 수 있다.

만약 변동성 스큐의 변화가 향후 ‘시장 붕괴’ 가능성이 높아지는 시기를 정확히 식별할 수 있다면, 해당 시점에 풋옵션을 통해 자산을 보호하는 데 드는 추가적인 ‘붕괴 프리미엄(crash premium)’ 비용은 정당화될 수 있다. 반면, 내재변동성 상승이 시장 붕괴 가능성과 연계되지 않는다면, 이 추가 프리미엄은 단지 비효율적인 자금 지출일 뿐이며, 단순히 시장 유동성의 결과일 수도 있다.

논문의 나머지 구성은 다음과 같다.

제Ⅱ장에서는 실증 데이터 및 분석 방법론을 설명하며, 내재변동성 측정치의 예측력을 추정하기 위한 모형을 포함한다.
제Ⅲ장에서는 해당 모형을 기반으로 도출된 실증 결과를 보고한다.
제Ⅳ장에서는 본 논문의 핵심 결과를 요약하고, 향후 연구의 확장 가능성에 대해 제안한다.

II. 방법론 및 데이터

A. 방법론

내재변동성에 담긴 정보를 식별하기 위해, 풋옵션과 콜옵션을 moneyness(옵션 가격의 현재가 대비 정도)와 만기 기준으로 분류하였다. 옵션을 다양한 구간(bin)으로 나누면, 단면 형태(cross-section)를 포착할 수 있으며, 이로써 스마일(smile), 스머크(smirk), 스니어(sneer) 패턴 간의 차이를 드러낼 수 있다.

예를 들어, 5% 외가격 풋옵션의 내재변동성이 ATM 풋옵션보다 높고, ATM 풋옵션의 내재변동성이 다시 5% 내부가격 풋옵션보다 높은 경우, 이는 변동성 스머크(smirk)로 해석된다. Bates(2000)의 지적처럼, 콜옵션과 풋옵션을 구분하는 것이 중요하다. 왜냐하면 시장 붕괴(crash)에 대한 우려가 클수록, 해당 위험은 내부가격 콜옵션보다 외가격 풋옵션에 더 높은 내재변동성으로 반영되기 때문이다.

우리는 Black-Scholes 모형을 이용해 내재변동성(implied volatility)을 계산한다. 시장에서 실제 거래된 해당 옵션의 콜과 풋 가격을 Black-Scholes 공식에 대입하여, 유럽형 옵션의 내재변동성을 산출한다. 이후, 해당 내재변동성 값은 Barone-Adesi와 Whaley(1987)의 방법론을 활용하여 조기행사권(early exercise feature)이 있는 미국형 옵션에 맞게 보정된다.

기초자산인 S&P 100 지수는 배당금을 지급하지만, 그 규모는 작고 지급 시점도 일정하지 않기 때문에, 배당으로 인한 가치 급변(jump)의 영향을 피할 수 있다. Black-Scholes 모형은 확률적 변동성(stochastic volatility)이나 점프(jumps)를 반영하지 못하는 모형적 한계가 있기 때문에, 반드시 미국형 조정 내재변동성(American adjusted IV)을 사용하는 것이 중요하다.

이러한 구조적 미스펙(misspecification)으로 인해, 옵션의 내재변동성은 실제로 점프 프리미엄 및 확률적 변동성 프리미엄을 포함하고 있을 가능성이 높다. 내재변동성 측정값에 포함될 수 있는 잠재적 측정오차(measurement error) 문제는 이후에 다룰 것이다.

스큐(skew)의 형태를 포착하기 위해 세 가지 변수를 생성한다.

• 첫 번째 변수 $P^{do,o}_{Ds} (C^{o,do}_{Ds})$는 깊은 OTM 풋옵션과 이에 대응하는 OTM 콜옵션 간의 내재변동성 차이를 정량화한 것이다.

• 두 번째 변수 $P^{do,a}_{Ds} (C^{a,do}_{Ds})$는 깊은 OTM 풋옵션과 이에 대응하는 ATM 콜옵션 간의 내재변동성 차이를 정량화한다.

• 세 번째 변수 $P^{do,i}_{Ds} (C^{i,do}_{Ds})$는 깊은 OTM 풋옵션과 이에 대응하는 ITM 콜옵션 간의 내재변동성 차이를 정량화한다.

행사가격 대비 기초자산 가격의 비율로 정의되는 '가격도 혹은 머니니스(moneyness)'는 다음과 같이 정의된다

여기서 K는 행사가격, S(t)는 시점 t에서의 기초지수 가격, r은 무위험 수익률, T는 옵션의 잔존 만기이다. 머니니스 구간은 Bakshi와 Kapadia(2003)의 정의와 유사하게 설정되며, 다음과 같다:

• 깊은 OTM 풋옵션(DOTM puts): 0.875 ~ 0.925

• OTM 풋옵션 및 ITM 콜옵션: 0.925 ~ 0.975

• ATM 옵션: 0.975 ~ 1.025

• OTM 콜옵션 및 ITM 풋옵션: 1.025 ~ 1.075

• 깊은 OTM 콜옵션(DOTM calls): 1.075 ~ 1.125

Hentschel(2003)에 따르면, 개별 OTM 및 ITM 옵션을 단독으로 사용해 내재변동성을 추론할 경우, 옵션 가격이 측정 오차를 포함할 수 있기 때문에 잘못된 결론에 이를 수 있다. 따라서 각 구간에서 여러 개의 내재변동성을 평균하면, 개별 측정 오류를 크게 줄일 수 있다.

이러한 방식으로, ITM 쪽 내재변동성 곡선의 일부와 그에 대응하는 OTM 쪽을 비교함으로써 스큐의 형태를 보다 정확히 포착할 수 있다. 모든 거래된 옵션의 행사가격은 해당 기초자산의 마지막 거래가격 기준으로 측정된다. 우리는 단기적인 시장 하락 또는 상승에 연관된 투자자들의 옵션시장 행동을 식별하고자 한다. 따라서, 내재변동성에 영향을 미치는 거시경제적 변화에 대한 통제가 중요하다.

미국 및 기타 국가에서 수익률곡선(term structure of interest rates)과 향후 경제활동 간에는 잘 확립된 연관성이 존재한다.
특히 본 연구에서는 수익률곡선이 역전되거나 역전에 가까워질 때와 경제 둔화(특히 경기침체) 시점 간의 타이밍 연관성에 주목한다. 이러한 경제 변화를 통제하기...