[시리즈 연재] 수학 없는 옵션 입문 15화 - 로(ρ)

0. 들어가며 지난 시간에는 옵션의 세 번째 그릭스인 세타에 대하여 배워보았습니다. 세타는 "시간이 하루 흐를 때 옵션 가격이 얼마나 깎이는가?"를 나타내는 그릭스였고, 매수자 입장에서는 가만히 들고만 있어도 매일 청구되는 확정적 비용이라는 점, 그리고 만기가 가까워질수록 그 청구액이 지수함수 형태로 늘어난다는 점을 살펴보았습니다. 이번 시간에는 옵션의 또 하나의 핵심 그릭스인 변동성에 대한 옵션가격의 민감도, 베가(Vega)에 대해 공부해보겠습니다. 이번 회차를 본격적으로 읽기에 앞서, 혹시라도 [시리즈 연재] 수학 없는 옵션 입문 7화 - 내재변동성 ① [시리즈 연재] 수학 없는 옵션 입문 8화 - 내재변동성 ② 를 아직 읽지 못하셨다면, 먼저 읽고 오시면 이해에 큰 도움이 될 것 같습니다. 베가의 원리적 측면인 내재변동성이 대부분 7~8화에서 이미 다뤄졌고, 이번 회차는 거기에 '민감도'라는 개념으로 확장하는 내용이기 때문입니다. 그럼 시작해보겠습니다. 1. 베가(Vega)란 무엇인가? 들어가기에 앞서, 10화에서 잠시 언급드렸지만, 베가는 사실 그리스 문자가 아닙니다. 변동성(Volatility)의 V로 시작하는 이름을 붙이려다 보니 베가(Vega)라는 이름이 자리잡은 것이고, 학계나 일부 제도권에서는 카파(κ)라고 부르기도 합니다. 본 연재에서는 가장 대중적인 이름인 베가로 통일하기로 합니다. 자 그럼, 오늘도 두괄식으로 결론부터 박고 시작하겠습니다. 베가 = 내재변동성(IV)이 1%포인트 변할 때, 옵션 가격이 얼마나 변하는가? 즉, 옵션가격이 내재변동성에 얼마나 예민한가?라는 의미입니다. 예를 들어, 어떤 콜옵션의 현재 가격이 5달러이고, 내재변동성이 20%인 상황에서 이 옵션의 베가가 0.15라고 해봅시다. 그럼 다른 모든 조건(기초자산 가격, 만기까지 남은 시간, 이자율)이 그대로라는 가정 하에 다음과 같이 해석할 수 있습니다. IV가 20% → 21%로 1%포인트 올라가면, 옵션 가격은 5달러 → 5.15달러 IV가 20% → 19%로 1%포인트 내려가면, 옵션 가격은 5달러 → 4.85달러 베가는 지난 시간에 배웠던 세타와 일종의 동전의 앞면과 뒷면과도 비슷하다고 할 수 있습니다. 세타가 매수자에게 무조건 마이너스였던 것처럼, 베가는 매수자에게 무조건 플러스입니다. 변동성이 높고 낮을 때 콜옵션과 풋옵션의 시간가치가 어떻게 변화하는지 살펴보면, 이렇게 콜/풋과 관계없이 높은 변동성에서 옵션가치가 증가하는 것을 확인할 수 있습니다. 왜 그럴까요? 변동성이 올라간다는 것은 기초자산이 만기 전까지 행사가까지 도달할 가능성이 높아진다는 의미이고, 옵션의 본질은 결국 가능성이기 때문입니다. 가능성이 커지면 보험료(옵션 가격)도 비싸져야겠죠? 콜 매수자는 위로 튀어주길 바라고, 풋 매수자는 아래로 튀어주길 바라지만, 둘 다 일단 튀어주는 것 자체를 기대합니다. 잠잠하면 둘 다 손실로 끝납니다. 그래서 변동성 상승은 콜이든 풋이든 매수자에게 유리한 방향으로 작용합니다. 반대로 옵션 매도자에게는 콜이든 풋이든 변동성 상승이 악재입니다. 매도자는 만기까지 아무 일도 일어나지 않기를 바라는 쪽이니까요. 2. 베가의 특성 베가의 대표적인 특성은 등가격에서 최대가 되고, 만기까지 남은 시간에 비례하며, 행사가의 절대 크기에 비례합니다. 하나씩 천천히 살펴보겠습니다. 2-1. 베가는 등가격(ATM)에서 최대가 된다 베가 역시도 지난 회차들에서 본 그릭스들과의 비슷하게 등가격에서 최대가 됩니다. 감마는 등가격에서 최대 세타는 등가격에서 최대(절댓값 기준) 오늘 배울 베가도 등가격에서 최대 이 세 그릭스가 모두 등가격에서 최대치를 찍는다는 점은, 등가격이 옵션 매매에서 왜 그렇게 중요한 구간인가를 다시 한 번 보여줍니다. 등가격은 가장 불확실한 자리이고, 불확실성이 가장 큰 자리이기 때문에 모든 종류의 민감도가 극대화되는 지점이라는 함의를 가지는 것입니다. 7화 및 8화의 내재변동성 편에서 공부했던 것을 떠올려보며 직관적으로 한 번 생각해보겠습니다. 기초자산이 50달러일 때, 행사가 500달러짜리 콜옵션을 가지고 있다고 해봅시다. 이 콜옵션 입장에서는 IV가 20%든 30%든 별로 관심 없습니다. 어차피 만기 내에 50달러가 500달러까지 10배가 상승하여 내가격이 될 확률은 확률은 IV가 겨우 20%에서 30%로 상승했다고 해서 갑자기 의미 있게 올라가지 않습니다. 가만히 휴지조각이 될 운명이 정해져 있는 옵션은, 변동성이 좀 흔들린다고 해서 가격이 크게 바뀌지 않습니다. 깊은 내가격 옵션도 마찬가지입니다. 이미 내재가치가 두둑하게 깔려 있어서 가격의 대부분이 내재가치이고 시간가치는 크게 의미가 없습니다. 사실상 수익이 확정된 영역이고, 변동성이 좀 변한다고 해서 크게 출렁이지 않습니다. 그러나 기초자산이 50달러일 때 행사가 50달러짜리 등가격 옵션은 어떨까요? 이 옵션은 지금 50:50의 절체절명에 서 있는 옵션입니다. 만기까지 위로 갈지 아래로 갈지 운명이 가장 불확실한 상태이고, 시장이 출렁이느냐 잠잠하냐에 따라 만기 결과가 가장 크게 바뀝니다. 그래서 IV가 1% 움직였을 때 가격이 가장 크게 반응합니다 즉, 변동성 변화에 가장 민감한 자리는 가장 불확실한 자리(ATM)이고, 운명이 정해져 있는 자리(깊은 ITM/OTM)는 변동성에 둔감합니다. 가운데가 가장 가팔라지는 익숙한 모양이죠. 2-2. 베가는 만기까지 남은 시간에 비례한다(√t) 세타는 만기까지 남은 시간이 짧을수록 커졌습니다. 만기 직전이 가장 무섭다는 의미죠. 베가는 정확히 반대입니다. 만기가 멀수록 베가가 커지고, 만기가 가까울수록 베가가 작아집니다. 왜 그럴까요? 변동성이라는 게 시간 안에서 누적되는 개념이기 때문입니다. 이 부분은 7화에서 변동성을 처음 설명드리면서 잠깐 짚었던 부분인데, 변동성은 시간의 제곱근(√t)에 비례합니다. 8화에서 일일/주간 기대 변동폭을 계산할 때 16(=√252)이나 7.2(=√52)로 나눴던 게 바로 그 원리입니다. 그렇기 때문에: 만기 1년 남은 옵션의 IV가 20% → 1년간 기대 변동폭은 ±20% 만기 1개월 남은 옵션의 IV가 20% → 1개월간 기대 변동폭은 약 ±5.8% (20%/√12) 만기가 길수록 변동성이 누적될 시간이 많기 때문에, 같은 1%포인트 IV 변화도 옵션 가격에 미치는 영향이 훨씬 큽니다. 만기 1년짜리와 만기 1개월짜리 등가격 옵션의 베가는 대략 √12 ≈ 3.46배 차이가 나는 ...

0. 들어가며 지난 시간에는 옵션의 두 번째 그릭스인 감마에 대하여 배워보았습니다. 감마는 델타의 변화량, 자동차로 치면 가속도와 비슷하다고 알아봤고, 등가격(ATM)에서 최대가 된다고 공부해봤습니다. 동시에 델타 헷지, 감마 스퀴즈와 같이 투자를 하면서 종종 들어봤을 법한 용어들의 기반 원리에 델타와 감마가 깔려 있다는 것도 살펴보았습니다. 마지막으로 그 말미에, 옵션 매수 포지션은 방향성을 맞춰도 세타 때문에 손해가 날 수 있다는 이야기를 잠시 언급하며 넘어갔는데, 이번 회차에서는 그 이야기를 본격적으로 해보도록 하겠습니다. 이번편을 본격적으로 읽기에 앞서, 혹시 [시리즈 연재] 수학 없는 옵션 입문 6화 - 옵션의 시간가치를 아직 읽지 않으셨다면, 일독을 권해드립니다. 세타의 원리적 측면에서 대부분이 해당편에 담겨있기 때문입니다. 1. 세타(θ)란 무엇인가? 세타는 "시간이 하루 흘렀을 때 옵션 가격이 얼마나 깎이는지" 를 나타내는 숫자입니다. 조금 더 정확히 말하자면, 기초자산 가격·변동성·무위험 이자율 같은 다른 모든 조건이 그대로라고 가정했을 때, 내일이 되면 옵션 가격이 오늘보다 얼마나 변하는지를 측정한 값입니다. 여기서 '변한다'는 말은, 99.9%의 경우 '깎인다'를 의미합니다. 시간은 비가역적이기 때문에, 만기까지 남은 시간(T)은 오로지 줄어드는 방향으로만 흐르기 때문이죠. 일반적으로 세타에는 마이너스 부호가 붙어 있습니다. 왜냐하면 옵션 매수자 입장에서 시간은 손실이기 때문입니다. 시간이 흐를수록 내가 산 옵션의 가치가 줄어드니, 그 변화를 음수로 표시하는 것이죠. 예를 들어 어떤 콜옵션의 현재 가격이 5달러이고 세타가 -0.05라면, 다른 조건이 동일할 때 내일 이 옵션은 4.95달러가 됩니다. 모레는 4.90달러, 그 다음 날은 4.85달러... 이런 식으로 매일 시간이 가격을 깎아먹는 것이죠. 세타를 설명할 때 옵션 시장에서 가장 흔히 쓰는 비유가 바로 "가만히 둬도 조금씩 녹는 얼음" 입니다. 옵션을 매수하는 행위는 마치 얼음 한 덩어리를 사놓는 것과 비슷합니다. 가만히 놔둬도, 아무 일도 일어나지 않아도, 시간이 흐르면 얼음은 조금씩 녹아 사라집니다. 그게 세타입니다. 이 비유의 핵심은 "가만히 있어도 손실이 발생한다" 는 점입니다. 지난 회차들에서 살펴본 델타나 감마는 기초자산이 움직여야 비로소 손익이 발생합니다. 시장이 옆걸음을 치면 적어도 델타·감마 쪽에서는 손실이 생기지 않죠. 그런데 세타는 다릅니다. 시장이 움직이든 안 움직이든, 시계가 똑딱거리기만 해도 손실이 누적됩니다. 다만 이 얼음은 평범한 얼음이 아닙니다. 처음에는 천천히 녹다가 만기가 가까워질수록 가속이 붙어 폭삭 무너지듯 녹는 얼음입니다. 왜 그런지는 바로 다음 절에서 살펴보겠습니다. 한편 시장에는 옵션을 산 사람만 있는 게 아니라 판 사람도 있습니다. 매도자 입장에서는 정확히 반대입니다. 매수자의 세타가 -0.05라면 매도자의 세타는 +0.05입니다. 다른 조건이 동일한 상태에서 시간이 흐르면 매도자에게는 매일 세타만큼의 이익이 누적됩니다. 매수자가 잃은 만큼을 매도자가 그대로 가져가는 제로섬 구조죠. 매수자의 세타 : 시간의 흐름에 따라 매일 잃는 금액 (음수) 매도자의 세타 : 시간의 흐름에 따라 매일 버는 금액 (양수) 이 두 가지는 동전의 양면입니다. 그래서 옵션 매수가 시간에 대한 비용을 지불하는 게임이라면, 옵션 매도는 시간을 받고 위험을 떠안는 게임입니다. 2. 세타의 특성 2-1. 세타는 선형이 아닌 지수함수 형태로 커진다 물론 현실에서는 매일 세타가 일정할 수가 없습니다. 세타는 대체로 시간이 흐를 수록 점점 커지는 방향으로 작용합니다. 만기까지 남은 시간이 줄어들 수록, 전체 남은 기간에서 오늘 하루가 차지하는 비중이 점점 올라가기 때문입니다. 이 내용을 설명드리기 위해 지난 6회차에서 공부해보았던 옵션의 시간가치편에서 나오는 내용을 일부 발췌해와보겠습니다. 옵션의 시간가치는 어떻게 줄어들까요? 남은 시간에 비례해서 선형으로? 아니면 비선형으로? 이것도 예시를 들면 쉽게 이해할 수 있습니다. 자 상상해볼게요. 보험이 10년 남은 상태에서 하루가 지나갔습니다. 그럼 내가 보험 만기전까지 사고가 날 확률은 얼마나 줄었을까요? 아마 거의 티도 안나게 줄었을 겁니다. 왜? 여전히 9년 12개월 30일이 남았으니까요. 하루라는 시간의 경과가 남아있는 만기에서 차지하는 비중이 미미한 겁니다. 그럼 시간가치도 거의 줄어들지 않죠. 1/(365일 × 10년) = 1/3,649 = 0.0274% 방금 지나간 하루가 남은 기간에서 차지하는 비중이 거의 0.027%밖에 안됩니다. 거의 티가 안나죠. 근데, 보험만기가 이틀 앞으로 다가왔습니다. 만약 또 무사히 오늘 하루를 보내고 이제 하루가 남았는다면, 내일쯤에는보험 기간내에 사고가 날 확률은 대략 오늘에 비해 반 정도로 줄어들었을 겁니다. 왜? 오늘 하루를 무사히 보내면 만기까지 남은 기간이 이제 이틀에서 하루로 절반이나 날아갈 테니까요. 1/2 = 50% 오늘 무사히 사고없이 보내는 하루가 남은 만기에서 차지하는 비중이 무려 50%나 됩니다. 따라서 만기 전까지 사고가 날 확률도 엄청나게 줄었죠. 그래서, 옵션의 시간가치는 시간의 경과에 따라 선형적으로 감소하는 것이 아니라, 지수함수의 형태로 감소합니다. 이러한 이유 때문에 옵션의 시간가치는 기본적으로 선형이 아니라 지수함수 형태로 감소합니다. 바꿔 말하면, 시간가치 감소에 대한 옵션가격의 민감도인 세타값은 지수함수 형태로 증가합니다. 세타는 일반적으로 매수자를 기준으로 생각해서 -부호가 붙으니 정확히는 세타의 절대값이 지수함수 형태로 증가한다는 표현이 맞을 것 같습니다. 이 가속 구조를 좀 더 정량적으로 보면, 등가격 옵션의 시간가치는 대략 만기까지 남은 시간의 제곱근(√t)에 비례 합니다. 무슨 의미일까요? 만기까지 100일 남았을 때의 시간가치를 기준으로 잡아보겠습니다. 그러면 25일 남았을 때 시간가치는 대략 √25/√100 = 5/10 = 절반 수준 입니다. 즉, 앞의 75일이 흐르는 동안 시간가치의 절반이 깎였고, 마지막 25일 동안 나머지 절반이 깎인다는 뜻입니다. 2-2. 세타는 등가격에서 최대가 된다. 세타의 절댓값이 어느 행사가에서 가장 큰지는 지난 시간가치 편에서 이미 언급드린 바가 있습니다. 시간가치가 등가격에서 최대 → 매일 깎여나갈 시간가치도 등가격에서 최대 즉, 가진 게 많으면 잃을 것도 많기 때문에 세타도 등가격(ATM)에서 절댓값이 가장 큽니다. 등가격은 "위로 갈지 아래로 갈지 모르는" 가장 불확실한 상태입니다. 그래서 가능성의 값(시간가치)이 가장 풍부하고, 동시에 그 가능성을 매일 잃어가는 속도(세타)도 가장 큽니다. 가진 게 많은 옵션이 잃을 것도 많은 것이죠. 반면 깊은 외가격(OTM) 옵션은 어떨까요? "이미 ...

0. 들어가며 지난 시간에는 옵션의 첫번째 그릭스인 델타에 대하여 배워보았습니다. 델타는 방향성의 척도이며 변화율 확률 헷지비율 세가지 의미로 활용될 수 있다고 알아보았습니다. 오늘은 기초자산 가격이 변했을 때 델타의 변화율인 감마(Γ)에 대해서 공부해보도록 하겠습니다. 1. 감마는 무엇인가? 개인적으로 저는 처음 공부할 때 델타와 감마의 차이를 직관적으로 이해하는 데에 꽤 많은 시간이 걸렸습니다. 델타는 기초자산 가격이 변했을 때 옵션가격의 변화율 감마는 기초자산 가격이 변했을 때 델타의 변화율 기초자산 가격이 변하면 옵션가격이 변하는데, 그 변하는 비율이 델타다. 근데 그 델타가 변하는 비율이 감마다? 대체 이게 무슨 소릴까...? 혹시 수학적으로 베이스가 있으시다면 델타는 옵션가격의 1차 미분값, 감마는 2차 미분값이라고 설명하면 바로 알아들으시겠지만, 저는 문과다보니 미적분을 배운적이 없었습니다. 그래서 저는 저 같은 문과출신분들을 위해 조금 시각적인 이해를 시도해보겠습니다. 지난시간에 보신 옵션의 손익그래프에서 그래프 기울기가 델타라고 했던 것을 기억하실 겁니다. 이 그림에서 각 지점에서의 초록색 직선의 기울기가 델타였죠? 그리고 이 연속적인 델타의 변화를 델타커브로 그리면 아래와 같은 모양이 나온다고 했었습니다. 마찬가지로 감마는, 이 델타커브의 순간 순간의 기울기를 의미합니다. 그리고 이 델타커브의 기울기 변화를 마찬가지로 연속적이게 그려보면 아래와 같은 그림이 그려집니다. 직관적으로 이해가 가시나요? 아마 잘 안가실 겁니다. 그래서 비유가 좀 필요합니다. 흔히들 델타와 감마를 설명할 때 드는 비유중 하나는, 속도–가속도입니다. 델타(속도) : 속도가 일정하면 위치는 시간에 대해 직선으로 변합니다. 감마(가속도) : 가속이 붙으면 위치는 시간에 대해 곡선(포물선)으로 변합니다. 델타가 기초자산 가격에 변화에 대한 옵션 가격의 기울기라면 감마는 델타커브의 기울기이고, 감마는 기초자산 가격 변화에 대한 옵션가격의 가속도입니다. 제가 생각해 낸 가장 좋은 비유는 자동차가 0km/h 부터 200km/h까지 가속하는 과정입니다. 처음 차가 멈춰있을때 0부터 시작해서 속도가 붙을 때까지는 시간이 조금 필요합니다. 그 과정에서는 가속도가 점점 상승하겠죠? 그러나 중간 어느 지점부터는 분명 속도계는 계속 올라가고 있지만 체감되는 가속력 자체는 떨어지기 시작할 겁니다. 그러다가 200km/h 부근에서는 눈에 띄게 가속이 더뎌져서 198....199...200km/h까지 올라가는데 시간이 꽤 많이 걸릴겁니다. 분명히 속도(옵션가격)는 200km/h까지 안멈추고 계속 올라가고 있는데, 가속도(감마)는 상승했다가 하강하는 모습을 보여준다는 의미입니다. 옵션도 마찬가지입니다. 외가격에서 내가격으로 이동할 수록 델타는 계속 올라가고 있지만 감마는 등가격을 지날때 최대치를 찍은 후 더 깊은 내가격으로 들어갈 수록 점점 감소하는 모습을 보여줍니다. 그래서, 기초자산 가격에 대한 감마의 민감도는 실제로 옵션의 속도(Speed)라고 불리기도 합니다. 만약 극단적으로 가정해서 감마라는게 존재하지 않으면 어떻게 될까요? 델타가 변화하지 않고 고정되어 있다면 옵션가격은 어떤식으로 움직일까요? 델타란 기초자산 가격의 변화에 대한 옵션가격의 변화율이라고 했는데, 이 변화율이 일정하다는 말은 기초자산 가격과 옵션가격이 선형으로 비례한다는 의미가 됩니다. 그럼 옵션의 손익그래프는 꺾이지 않고 일자의 선형 상품이 될 것입니다. 예를 들어 델타가 0.5로 영원히 고정되어 있다고 가정해볼까요? 기초자산 1달러 상승 → 옵션 0.5달러 상승 기초자산 10달러 상승 → 옵션 5달러 상승 기초자산 100달러 상승 → 옵션 50달러 상승 기초자산 10달러 하락 → 옵션 5달러 하락 이 상태로 옵션의 손익그래프를 그려보면 기울기가 0.5인 직선 하나가 나옵니다. 결국 감마는 옵션 가격 곡선이 얼마나 휘어져 있는지를 나타내는 곡률(Curvature)이라고 할 수 있습니다. 옵션 가격을 직선이 아니라 곡선으로 만드는 비선형성의 원천이 감마라는 이야기죠. 그럼 손익그래프의 곡률은 어디서 최대가 될까요? 바로 등가격(ATM) 근처입니다. 실선으로 나타난 만기전 손익그래프의 가장 곡률이 높은 부분이 바로 등가격 부근이고, 이는 만기시 손익그래프의 꺾이는 지점, 즉 행사가 지점입니다. 그래서, 옵션의 손익그래프와 감마 그래프를 겹쳐서 그려보면 아래와 같은 모습이 됩니다. 여기서, 참고할 점은 정확히 행사가인 100근처에서 감마의 피크가 형성되는 것이 아니라 살짝 아래에서 형성됩니다. 이는 블랙숄즈 모형의 태생적인 구조와 이자율(r) 때문인데, 만기가 멀 수록 피크지점이 ATM보다 더 아래 쪽에 형성되고, 만기가 가까워질 수록 이 갭은 작아져서 거의 ATM에 수렴하게 됩니다. 초심자 레벨에서 감마 피크를 정확히 찾는 효용은 크지 않기 때문에, 감마는 ATM 부근에서 피크를 이룬다라고 생각하시고 넘어가주시면 되겠습니다. 이번에는 델타커브와 감마커브를 겹쳐서 시각화해보겠습니다. 지난 시간에도 배워보았듯이, 콜옵션의 델타는 0부터 1사이, 풋옵션의 델타는 -1부터 0사이의 값을 지닌다고 말씀드린 바 있습니다. 그래서 델타커브는 이런 식으로 등가격을 중심으로 S자 형식으로 나타난다고 말씀드렸었죠? 만약 여기에 감마커브를 겹쳐서 그리면 아래와 같은 모습이 나옵니다. 위에서 나왔던 200km/h까지 가속하는 자동차를 생각하시면서 봐주시면 좋을 것 같습니다. 이제 산만하니까 비유는 그만하고 델타의 본질적인 특성 관점에서 생각해보기로 합니다. 먼저 위 100 콜옵션 손익그래프에서 왼쪽 끝 60부근, 그러니까 굉장히 외가격에 있을 때에는 파란색 델타커브가 어떤가요? 거의 0에 가깝게 수평을 달리고 있습니다. 지난 시간에 델타는 만기 내에 내가격이 될 확률을 근사한다고 배웠었죠? 60달러 부근은 너무 외가격이어서 만기 전까지 내가격으로 들어올 확률, 즉 수익낼 확률이 거의 0에 가깝다는 이야기입니다. 그러다가 약 70을 넘어서면서부터 파란색 델타가 조금씩 조금씩 상승하기 시작하고 있습니다. 등가격에 가까워지면서 점차 내가격으로 들어올 확률이 비선형적으로 높아지기 시작하는 겁니다. 그에 따라서 빨간색 감마커브는 어떤가요? 파란색 델타보다 훨씬 급격한 각도로 상승하기 시작합니다. 델타가 증가하는 것 뿐만 아니라, 그 델타증가의 급격한 정도, 볼록성 자체가 함께 상승하고 있는 것입니다. 그렇게 볼록성은 등가격에서 정점을 찍습니다. 다시 기초자산 가격이 옵션의 행사가인 등가격 부근을 지나 120으로 빠져나가는 과정을 보면, 분명히 델타는 꾸준히 상승하고 있지만, 상승의 급격함은 점차 사라지게 됩니다. 이제는 기초자산 가격이 내가격을 지나 더 상승하더라도 델타는 거의 상승하지 않고, ...

0. 들어가며 지난 시간에는 옵션 그릭스들의 의미와 종류, 유래, 그리고 효용들에 대해서 알아보았습니다. 이번 시간에는 가장 대표적인 옵션 그릭스인 델타에 대해서 알아보는 시간을 가져보겠습니다. 1. 델타란 무엇인가 1-1. 변화율 (Rate of Change) 앞선 시간에서 공부해보았듯이, 델타란 다음과 같이 정의됩니다. 기초자산 가격 변화에 대한 옵션 가격의 변화율 그러니까 한마디로, "기초자산이 1만큼 움직였을 때 옵션가격은 몇이나 움직이냐" 이 말입니다. TSLA 콜옵션을 예로 들어보겠습니다. 기초자산인 테슬라가 1달러 상승했을 때 콜옵션가격이 0.5달러 상승했다면, 현재 이 콜옵션의 델타는 0.5입니다. 기초자산인 테슬라가 1달러 하락했을 때, 콜옵션가격이 1달러 하락했다면, 이 콜옵션의 델타는 1입니다. 델타는 결국 옵션 가격 변화량/기초자산 가격 변화량입니다. 이렇게만 말하면 이해가 잘 안되니 그림으로 한번 알아보겠습니다. 아래 사진은 흔히 볼 수 있는 콜옵션의 손익그래프입니다. 가로축을 기초자산의 가격, 세로축을 콜옵션 가격으로 두었을 때 만기시의 가치(점선)와 현재가치(실선)를 나타낸 것입니다. 위에서 델타의 정의를 다시 살펴보면 "기초자산 가격이 변할 때 옵션가격의 변화율"이라고 했습니다. 그렇다면 위 그래프에서 델타란 현재 옵션 손익그래프의 기울기, 즉 실선과 접하는 접선의 기울기가 됩니다. 손익그래프에 델타를 표시해보면, 이런 식으로 그려집니다. 위 옵션 손익그래프에 접하는 초록색 선의 기울기가 바로 콜옵션의 델타입니다. 최솟값은 수평으로 완전히 누운 맨 왼쪽 초록색 선처럼 외가격에서 0에 수렴하고, 최댓값은 깊은 내가격에서 1에 수렴합니다. 고로, 콜옵션의 델타는 0부터 1사이의 값을 갖습니다. 반대로 풋옵션의 델타는 아래와 같은 양상을 보여줍니다. 콜옵션과 마찬가지로 외가격에서는 기초자산 가격의 변동에 거의 반응하지 않기 때문에 기울기, 즉 델타가 0에 수렴합니다. 하지만 등가격으로 올라갈 수록 -0.5에 가까워지고, 깊은 내가격이 되면 -1에 수렴합니다. 따라서 풋옵션의 델타는 0부터 -1의 값을 갖습니다. 따라서 테슬라 풋옵션의 경우 기초자산인 테슬라가 1달러 상승했을 때 풋옵션가격이 0.5달러 하락했다면, 이 풋옵션의 델타는 -0.5입니다. 아마 ATM 풋옵션이겠죠? 기초자산인 테슬라가 1달러 하락했을 때, 풋옵션 가격이 1달러 상승했다면, 이 풋옵션의 델타는 -1입니다. 아마 깊은 ITM 풋옵션이겠죠? 기초자산의 가격과 콜/풋 옵션의 델타를 동시에 시각화하면 아래와 같은 S자 곡선이 그려집니다. 위는 기초자산의 가격과 콜옵션 델타의 관계(0~1), 아래는 기초자산의 풋옵션 델타의 관계(-1~0)입니다. 참고로 옵션시장 참여자들은 델타를 0.5, -0.1 이런식으로 표현하는 걸 귀찮아 해서, 부호와 소수점을 빼고 "50델타 콜", "10델타 풋" 이런 식으로만 부르기도 합니다. 어차피 부호는 콜/풋에 의해서 자동으로 정해지기 때문이죠. 혹은 "지금 이 옵션 델타가 얼마야?"라고 물으면 "0.4"라고 대답하는 것이 아니라 일반적으로 소수점을 빼고 "40"이라고 대답하는 식입니다. 처음에는 낯설지만 이 표현에 익숙해지시면 훨씬 직관적입니다. 이렇듯 기본적으로 델타는 변화율이자 즉 손익그래프의 기울기를 나타낸다고 기억해주시면 되겠습니다. 1-2. 확률 (Probability) 델타가 유용한 점 중 하나는 해당 옵션이 내가격으로 끝날 확률을 근사할 수 있다는 점입니다. 수학적으로 엄밀히 말하면 델타 ≠ ITM 확률이지만, 내가 목표가로 삼고 있는 지점까지 만기 내에 도달할 확률을 빠르게 가늠해보는 데에는 꽤 유용하게 쓰일 수 있습니다. 외가격 먼저, 기초자산 가격이 행사가보다 낮은 외가격(OTM) 영역에서는 손익그래프에 접하는 직선의 기울기가 거의 옆으로 누워있습니다. 이건 무슨 뜻일까요? 기울기가 낮다는 것은 델타가 낮다는 의미이고, 이 구간에서는 기초자산이 움직이든 말든 옵션가격이 시큰둥하게 반응한다는 의미입니다. 이것을 기울기라는 수학적 설명이 아니라, 보다 직관적으로는 어떻게 설명할 수 있을까요? 현재 주식가격이 행사가에서 저 멀리 떨어져있는 초극외가 콜옵션을 가정해보죠. 가령, 어떤 테슬라 콜옵션의 행사가는 500달러인데, 지금 테슬라 가격은 50달러입니다. 만기는 한달이 남았다고 해보겠습니다. 이런 경우에 테슬라 가격이 뭐 5달러 10달러 움직인다 한들, 옵션가치가 뭐 얼마나 대단하게 상승할까요? 어차피 만기는 한달 밖에 안남았는데, 그 한달 사이에 10배(50달러 → 500달러)가 올라야 이 옵션은 등가격이 됩니다. 그럼 오늘 뭐 테슬라가 5달러가 올랐다 떨어졌다 한들 콜옵션가치은 얼마 오르지도 않을겁니다. 아무리 발버둥 쳐봐야 어차피 99.999% 휴지조각으로 끝날 옵션이라 가능성이 없기 때문이죠 그렇기 때문에, 기초자산이 행사가보다 한참 낮을 경우, 콜옵션의 델타는 거의 0에 수렴합니다. 기초자산이 움직이거나 말거나 내가격으로 끝날 확률이 제로에 가깝기 때문에 콜옵션 가격은 반응하지 않는다는 의미입니다. 등가격 그러다가 정말로 기적이 일어나서 2주만에 테슬라가 500달러가 되었다(!)고 가정해볼까요? 그럼 현재 기초자산의 가격과 행사가가 동일한 등가격이 된 상황입니다. 이때 이 옵션의 델타는 0.5가 됩니다. 0.5라는건 무슨 의미일까요? 기초자산 가격이 1달러 움직이면, 옵션가격은 0.5달러만 반응한다는 의미입니다. 0.5는 0과 1의 정중앙입니다. 그리고 등가격도 수익구간과 손실구간의 정 중앙이죠? 이걸 직관적으로 생각해보면, 여기서부터는 확률이 반반이다, 그러니 기초자산 움직임에 따라 완전히 동화되어 델타1로 움직일 수도 없고, 그렇다고 완전히 기초자산의 움직임을 무시하고 아예 델타0으로 안움직일 수도 없는, 딱 중간지점인 델타 0.5가 된다는 겁니다. 내가격 그러다가 이 테슬라가 진짜 미쳐서 1,000달러가 되어버렸습니다. 이제는 만기까지 하루정도 남아서 다시 등가격이나 외가격으로 돌아갈 확률이 거의 없다고 가정해보겠습니다. 그럼 이 옵션은 사실상 기초자산인 테슬라와 동일하게 움직일 것입니다. 테슬라가 오르면 오르고, 떨어지면 떨어지고... 제가 옵션은 무슨 권리라고 말씀드렸죠? 만기에 기초자산을 받을 권리라고 말씀드렸죠? 하루만 더 지나면 이 옵션은 현물 테슬라 주식 100주로 바뀌는 옵션입니다. 그것도 깊은 내가격이어서 거의 100% 확률로 말이죠. 그럼 이 옵션은 사실상 만기 하루전인 지금 기준으로도 현물 테슬라 주식 100주와 다를바가 거의 없습니다. 그러니 테슬라 가격이 움직이는 대로 그대로 따라 움직이는 것이죠. 그래서 주식을 델타 원(Delta One) 상품이라고 부르기도 합니다. 눈치 빠르신 분들께서는 이미 느끼셨을지도 모르지만, 이것이 바로 델타가 옵션 내재확률을 근사하는 이유를 수식 없이 설명드린 것입니다. 월가아재님께서 시장참여자들의 컨센서스를 들여다보고 싶으면 옵션시장의 델타를 확인하라는 말은 이런 의미입니다. 기저율을 알아볼 때에는 옵션시장을 참조할 수 있다. 옵션의 델타는 해당 옵션이 내가격, 즉 수익으로 끝날 확률을 근사한다. 그렇기 때문에 가령 테슬라가 100달러인데, 30일 뒤에 120달러까지 상승할 기저확률을 알고 싶다면, 테슬라 옵션시장에 가서 30일 뒤 만기되는 행사가 120달러 콜옵션의 델타를 보면 된다. 트레이딩뷰의 경우 PC버전 기준 오른쪽 아래에 옵션 손익그래프 모양을 클릭하시면 옵션 데이터를 확인할 수 있습니다. 여길 눌러서 들어가시면 다음과 같이 종목과 만기를 선택하는 화면이 나옵니다. 여기서 체인으로 둔 다음, 종목은 TSLA를 설정하시고, 원하는 만기에 전체 행사가를 클릭하시면 아래처럼 옵션 체인이 나옵니다. 현재 테슬라는 376달러이니, 대략 30일 뒤 400달러까지 갈 확률이 얼마인지 확인해보겠습니다. 행사가(스트라이크) 400과 델타의 교차점을 찾아보면 0.05라고 나옵니다. 이는 옵션시장 참여자들이 30일 뒤까지 테슬라가 400달러에 도달할 확률을 5%로 추정하고 있다는 의미입니다. 이 방식의 편리한 점은 덧셈 뺄셈을 이용해서 '구간추정' 또한 가능하다는 것입니다. 위 예시에서 테슬라가 30일 뒤에 390~400달러 사이의 구간에 위치할 확률을 보고 싶다면 어떻게 하면 될까요? 만기 30일짜리 390달러 콜옵션의 델타와 400달러 콜옵션의 델타의 차이를 구해주시면 됩니다. 위 예시에서 만기에 400달러에 도달할 확률은 5%라고 했습니다. 같은 만기 옵션에서 390달러 콜옵션의 델타는 12%입니다. 테슬라가 30일 뒤에 390달러 이상 도달할 확률은 12%라는 이야기입니다. 현재가격에서 390달러가 더 가깝고 400달러는 더 머니까, 390달러 옵션의 델타가 더 높은 건 당연한 것입니다. 그렇다면 우린 12%-5% = 7%의 확률로 390~400달러 범위 사이에 위치할 것으로 예상한다는 것을 역산해낼 수 있습니다. TSLA가 30일 뒤에 390달러 이하일 확률 = 100%-12% = 88% TSLA가 30일 뒤에 390달러 ~ 400달러 사이에 위치할 확률 = 12% - 5% = 7% TSLA가 30일 뒤에 400달러 이상일 확률 = 5% 88+7+5 = 도합 100% 이렇게 되는 것입니다. 오호! 그렇다면 옵션 시장에 상장되어 있는 모든 상품들을 이용해서, GLD ETF 콜옵션을 이용해서 금가격이 전고점을 뚫을 확률을 계산해보고, SPX 풋옵션을 이용해서 주가가 10% 떨어질 확률을 계산해보고... 갑자기 이세상의 모든 확률을 알 수 있는 수정구슬을 손에 넣은 것 같은 생각이 듭니다. 왜 이렇게 잘 아냐면, 제가 청므에 그랬거든요... 근데, 델타를 이용한 내재확률은 엄밀한 확률추정에 사용될 경우 위험할 수 있습니다. 왜냐하면, 블랙숄즈 모델을 이용해서 역산한 델타 내재확률은 암묵적으로 거대한 가정이 두가지 들어갑니다. 주가가 로그정규분포를 따르며, 시장참여자들은 위험중립확률이라는 세계에 산다 고 가정해서 나온 값으로 현실과는 괴리가 있기 때문입니다. 그렇기에 매매의 기댓값, 즉 확률 × 손익비를 계산할 때 이 델타값을 확률로 넣고 계산하면 해당 종목/자산의 실제 주가 분포와는 전혀 상관없는 정규분포 + 위험중립확률을 가정한 왜곡된 기댓값이 나오므로 유의해야 합니다. 델타는 옵션시장의 내재확률을 근사할 뿐, 엄밀히 수학적으로는 델타 ≠ ITM 확률입니다. 따라서 등가격 부근과 단기옵션에서는 비교적 정확도가 높지만, 변동성이 지나치게 높은 상태에서 외가격으로 가거나, 장기 옵션의 경우 델타와 ITM확률의 차이가 점점 벌어지게 됩니다. 때문에 위 방식을 가지고 정확한 확률추정을 하기 보다는 내가 가정한 확률이 기저율에서 너무 벗어난 것은 아닌지 ...

0. 들어가며 지난 시간까지는 블랙숄즈 모델의 구성요소이자, 옵션 가격에 영향을 주는 다섯가지 요소들에 대해서 하나씩 공부해보았습니다. 기초자산의 가격 행사가 만기까지 남은 시간 내재변동성 이자율 이 중에서 5번의 이자율은 장기옵션이 아닌 이상, 옵션의 생애 동안 드라마틱하게 변하는 경우가 드물다보니 중요도가 다소 떨어져서 나머지 네가지를 중점적으로 알아보았습니다. 그런데, 각각 위 요소들이 옵션가격에 왜 영향을 주는지는 이제 알겠느데, "얼마나"영향을 주는지 역시도 중요해집니다. 왜 영향을 미치는지 그 인과를 알았어도 그 영향의 구체적인 '정도'를 모르면 실제 매매에서는 적용하는 데에 애로사항이 꽃피기 때문입니다. 앞으로의 시간에는 각 그릭스들을 통해 이 '정도'에 대한 고민들을 풀어보도록 하겠습니다. 1. 그릭스(Greeks)의 정의와 종류 이 글을 읽고 계시는 여러분께서는 이미 옵션의 그릭스들에 대해서 한번 쯤은 들어보셨을 겁니다. 옵션을 이야기할 때 꼭 한번씩은 등장하는 델타, 감마, 세타, 베가, 로 등이 바로 옵션의 그릭스입니다. 맨날 뭐 델타가 얼마니 감마가 얼마니, 감마 스퀴즈니 뭐니 할 때 들어보셨을 바로 그 단어들이 맞습니다. 그릭스의 정의는 특정 요인에 대한 옵션가격의 민감도(Sensitivity)를 의미합니다. 민감도라는 것은 지난 시간까지 공부했던 옵션가격을 움직이는 요인들, 기초자산의 가격, 행사가, 만기까지 남은 시간, 내재변동성, 이자율이 각각 1단위 변했을 때, 옵션가격이 얼마나 민감하게 변화하느냐 하는 '비율'를 의미합니다. 기초자산 가격이 변했을 때 옵션가격의 변화율 → 델타 기초자산 가격이 변했을 때 델타의 변화율 → 감마() 만기까지 남은 시간이 줄어들었 때 옵션가격의 변화율 → 세타() 내재 변동성이 변했을 때 옵션가격의 변화율 → 베가 이자율이 변했을 때 옵션가격의 변화율 → 로() 당연히 지금 이걸 ...