최적의 포지션 사이징은? 📃투자칼럼 ep.09

1. 최적의 포지션 사이징

확률적 사고를 바탕으로 확률적 우위인 투자기회를 포착했다면, 다음으로 직면하는 과제는 바로 '포지션 사이징', 즉 투자 비중 결정입니다.

기대하는 수익 잠재력을 온전히 확보하면서도 손실로부터 자본을 효과적으로 보호할 수 있는 최적의 투자 비중을 결정하는 것은 복잡하며 상당한 경험적 판단을 요구합니다. 이러한 고민 속에서 많은 투자자에게 알려진 "켈리 공식"을 응용하는 방안을 모색하게 되었습니다.

참고로 작성에는 AI의 도움을 받아 정리한 내용들이 포함되어 있습니다.

2. 켈리 공식에 대한 이해

2.1 켈리 공식의 식

본격적인 논의에 앞서 켈리 공식의 기본 원리를 살펴보겠습니다. 일반적으로 투자 수익/손실을 논할 때 손익비로 언급하는 경우가 많지만, 켈리 기준 공식 자체는 승리 확률 p, 패배 확률 q, 베팅 성공 시 얻는 이익률 b, 실패 시 잃는 손실률 a를 직접 활용합니다.

이때 a와 b를 투자 대상의 일반적인 기대 손실률과 이익률로 대입하면, 계산되는 투자 비중(f)은 현실적으로 적용하기 어려운 수준으로 과도하게 산출되는 경우가 많습니다. 예를 들어, 승리 확률 p=60%, 승리 시 이익률 b=10%, 패배 확률 q=40%, 패배 시 손실률 a=4%인 경우를 위 켈리 공식에 적용하면 투자 비중은 1,100%로 계산됩니다.

(참고: 손익률 적용의 타당성에 대해서는 펠로우 게시판에서 uyru님의 아래 설명이 도움되었습니다. 이 자리를 빌려 감사드립니다.)

손익률로 적용하는 것이 맞는지를 확인하기 위해 Gemini의 도움을 받아서 공식을 도출과정을 확인해보았습니다.

앞선 사례에서 보듯 1,100%와 같은 과도한 투자 비중은 실제 투자 환경에 그대로 적용하기 어렵다는 점을 명확히 보여줍니다. 그렇다면 켈리 기준이 이처럼 높은 비중을 제시하는 근본적인 이유와, 이 기준이 실제 투자에서 어떤 의미를 가지며 활용 가능성은 없을지 좀 더 심층적으로 탐구해보았습니다.

2.2 켈리 공식의 이론적 배경 및 정의

캘리 공식은 확률론과 포트폴리오 이론에서, 반복되는 일련의 베팅이나 투자 기회가 주어졌을 때, 각 기회마다 자산의 어느 정도 비율을 투입해야 장기적으로 자산의 로그 값(logarithm of wealth)의 기대치를 최대화할 수 있는지를 결정하는 수학적 공식입니다. 이는 단순히 산술적인 평균 수익을 높이는 것이 아니라, 장기적인 복리 효과를 고려한 기하 평균 성장률(geometric growth rate)을 극대화하는 것과 수학적으로 동일한 의미를 갖습니다.

(출처 : 켈리 공식 계산기_ https://fical.net/ko)

즉, 무수히 많은 시행을 반복했을 때 달성할 수 있는 장기적인 자산 성장 경로 상에서 수익률이 이론적으로 최적화되는 지점의 투자 비중을 계산하는 것이라 이해할 수 있습니다.

2.3 켈리 공식의 핵심원리

캘리 공식이 추구하는 핵심 원리는 다음과 같은 두 가지 상호 연관된 목표로 요약될 수 있습니다.

• 장기 자산 성장률 극대화: 캘리 공식의 가장 근본적인 목표는 자산을 장기적으로 가장 빠르게 증식시키는 것입니다. 이는 단일 기간의 수익률이나 여러 기간 수익률의 산술 평균을 최대화하는 것이 아니라, 시간이 지남에 따라 자산이 복리로 증가하는 속도, 즉 기하 평균 수익률을 최대화하는 것을 의미합니다. 수학적으로는 자산의 로그 값의 기대치를 최대화하는 전략을 통해 이 목표를 달성합니다.  

  
  

• 파산 위험 관리 (이론적 관점): 캘리 공식은 최적 비율 f∗를 계산하여 제시하며, 이 비율을 초과하여 베팅할 경우 장기적인 성장률은 오히려 감소하고 파산 위험이 증가한다는 것을 이론적으로 보여줍니다. 공식에 따르면, 켈리 비율에 따라 베팅하는 한, 자산이 0이 될 확률(파산 확률)은 0에 수렴합니다. 이는 베팅 금액이 항상 현재 자산의 일정 비율로 결정되기 때문에, 손실이 발생하여 자산이 줄어들면 다음 베팅 금액도 자동으로 줄어들어 자산이 완전히 소진되는 것을 방지하는 메커니즘에 기반합니다.  

그러나 '파산 위험 0'이라는 결과는 무한한 반복 시행, 정확한 확률 및 배당률 인지, 자금의 무한 분할 가능성 등 현실에서는 충족되기 어려운 이상적인 가정 하에서 성립하는 수학적 극한 개념에 가깝습니다. 실제 유한한 횟수의 투자나 예측 불가능한 극단적인 손실(블랙 스완 사건)의 가능성을 고려할 때, 캘리 공식 자체가 파산을 절대적으로 보장하는 것은 아닙니다.

오히려, 장기 성장률 극대화라는 목표를 추구하는 과정에서 단기적으로 상당한 자산 변동성(volatility)과 큰 폭의 자산 감소(drawdown)를 감수해야 할 수 있습니다. 이는 캘리 공식의 파산 방지 효과를 '장기적, 확률적 관점에서의 생존 가능성 증대'로 이해해야 하며, 단기적인 큰 손실 위험은 여전히 존재함을 시사합니다. 결국, 파산 위험 관리는 성장률 극대화라는 주된 목표를 달성하는 과정에서 자연스럽게 파생되는 부수적인 결과로 해석하는 것이 더 정확하며, 이는 파멸적인 위험을 초래할 정도의 과도한 베팅을 회피하는 내재적 메커니즘으로 작용합니다.  

2.4 켈리 공식에서 활용가능한 아이디어

무한 반복 시행이라는 이론적 전제 하에서 '파산 위험 0'에 수렴하는 개념과, 그 과정에서 '수익률을 최적화하는 투자 비중'이라는 아이디어는 실제 투자에서도 충분히 응용할 가치가 있습니다.

여기서 첫 번째 응용 아이디어를 생각해볼 수 있습니다. 일반적인 켈리 기준 모델에서 손실(a)은 대개 베팅 금액의 전액을 잃는 상황(a=1)을 상정하는 경우가 많습니다.

그러나 만약 개인이 투자에서 '감당 가능한 최대 손실' 규모를 사전에 명확히 정의한다면 어떨까요? 이 '감당 가능한 손실 규모'를 켈리 공식의 '단위 손실'(이론상의 a)로 간주하고 공식을 적용한다면, 무한 반복 시행 시 이론적으로 이 '감당 가능한 손실 규모'를 초과하여 손실을 볼 위험이 0에 수렴하는 결과를 얻을 수 있다는 아이디어를 도출할 수 있습니다. 더 나아가, 이러한 제한 조건 하에서 자산 성장률을 최적화하는 투자 비율을 수학적으로 산출할 수 있다면 실질적인 투자 결정에 큰 도움이 될 것입니다.

그렇다면 이제 '감당 가능한 손실' 또는 '제한하고자 하는 최대 손실'의 규모를 어느 ...